Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + x + 1}{{(x + 1)}^{2} - x^{2}} \div \frac{x + \frac{1}{1 + x}}{x + \frac{x}{1 + x}}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} + x + 1}{{(x + 1)}^{2} - x^{2}} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x + 1$ et $b = x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{(x + 1 + x) (x + 1 - x)} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{(2 x + 1) (x + 1 - x)} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Étape 2.2.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{(2 x + 1) (0 + 1)} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Étape 2.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{(2 x + 1) \cdot 1} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Étape 3

Multipliez $2 x + 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $1 + x$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$ par $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} (\frac{1 + x}{1 + x} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}})$

Étape 4.2

Associez.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) (x + \frac{x}{1 + x})}{(1 + x) (x + \frac{1}{1 + x})}$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + (1 + x) \frac{x}{1 + x}}{(1 + x) x + (1 + x) \frac{1}{1 + x}}$

Étape 6

Simplifiez en annulant.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + (1 + x) \frac{x}{1 + x}}{(1 + x) x + (1 + x) \frac{1}{1 + x}}$

Étape 6.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + x}{(1 + x) x + (1 + x) \frac{1}{1 + x}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + x}{(1 + x) x + (1 + x) \frac{1}{1 + x}}$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + x}{(1 + x) x + 1}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Factorisez $x$ à partir de $(1 + x) x + x$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $x$ à partir de $(1 + x) x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (1 + x) + x}{(1 + x) x + 1}$

Étape 7.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (1 + x) + x^{1}}{(1 + x) x + 1}$

Étape 7.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (1 + x) + x \cdot 1}{(1 + x) x + 1}$

Étape 7.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (1 + x) + x \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (1 + x + 1)}{(1 + x) x + 1}$

Étape 7.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{(1 + x) x + 1}$

Étape 8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{1 x + x \cdot x + 1}$

Étape 8.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x + x \cdot x + 1}$

Étape 8.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x + x^{2} + 1}$

Étape 8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 9

Simplifiez les termes.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + x + 1$ .

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 9.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 x + 1} (x (x + 2))$

Étape 9.2

Associez $x$ et $\frac{1}{2 x + 1}$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (x + 2)$

Étape 9.3

Multipliez $\frac{x}{2 x + 1}$ par $x + 2$ .

$\frac{x (x + 2)}{2 x + 1}$