Algèbre Exemples

$\frac{1}{8} x^{3} + 1 \frac{1}{2} x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{1}{8} x^{3} + 1 \frac{1}{2} x$ .

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Étape 1.1.1

Convertissez $1 \frac{1}{2}$ en fraction irrégulière.

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Étape 1.1.1.1

Un nombre mixte est une addition des ses parties entière et fractionnaire.

$\frac{1}{8} x^{3} + (1 + \frac{1}{2}) x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Étape 1.1.1.2

Additionnez $1$ et $\frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{8} x^{3} + (\frac{2}{2} + \frac{1}{2}) x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Étape 1.1.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{8} x^{3} + \frac{2 + 1}{2} x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Étape 1.1.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{8} x^{3} + \frac{3}{2} x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Étape 1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3}{2} x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Étape 1.1.2.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} = \frac{3 x^{2}}{4} + 1$

Étape 3

Soustrayez $\frac{3 x^{2}}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} = 1$

Étape 4

Multiplier chaque terme dans $\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} = 1$ par $8$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} = 1$ par $8$ .

$\frac{x^{3}}{8} \cdot 8 + \frac{3 x}{2} \cdot 8 - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3}}{8} \cdot 8 + \frac{3 x}{2} \cdot 8 - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Étape 4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot 8 - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Étape 4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot (2 (4)) - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Étape 4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot (2 \cdot 4) - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Étape 4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{3} + 3 x \cdot 4 - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$x^{3} + 12 x - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Étape 4.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 x^{2}}{4}$ dans le numérateur.

$x^{3} + 12 x + \frac{- 3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Étape 4.2.1.4.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x^{3} + 12 x + \frac{- 3 x^{2}}{4} \cdot (4 (2)) = 1 \cdot 8$

Étape 4.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$x^{3} + 12 x + \frac{- 3 x^{2}}{4} \cdot (4 \cdot 2) = 1 \cdot 8$

Étape 4.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$x^{3} + 12 x - 3 x^{2} \cdot 2 = 1 \cdot 8$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x^{3} + 12 x - 6 x^{2} = 1 \cdot 8$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$x^{3} + 12 x - 6 x^{2} = 8$

Étape 5

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} + 12 x - 6 x^{2} - 8 = 0$

Étape 6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 = 0$

Étape 6.2

Factorisez $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 6.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 6.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Étape 6.2.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 6.2.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 6.2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 6.2.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 6.2.3.4

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 6.2.3.5

Soustrayez $24$ de $8$ .

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 6.2.3.6

Multipliez $12$ par $2$ .

$- 16 + 24 - 8$

Étape 6.2.3.7

Additionnez $- 16$ et $24$ .

$8 - 8$

Étape 6.2.3.8

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0$

Étape 6.2.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

Étape 6.2.5

Divisez $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ par $x - 2$ .

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Étape 6.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

Étape 6.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

Étape 6.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 6.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 6.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Étape 6.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Étape 6.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Étape 6.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Étape 6.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Étape 6.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$

Étape 6.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Étape 6.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Étape 6.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

Étape 6.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x - 8$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

Étape 6.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

Étape 6.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 4 x + 4$

Étape 6.2.6

Écrivez $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Étape 6.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Étape 6.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 6.3.3

Réécrivez le polynôme.

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 6.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 8

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 2$