Algèbre Exemples

$x^{2} + 11 x + \frac{121}{4} = {(x + n)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme ${(x + n)}^{2} = x^{2} + 11 x + \frac{121}{4}$ .

${(x + n)}^{2} = x^{2} + 11 x + \frac{121}{4}$

Étape 2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x + n = \pm \sqrt{x^{2} + 11 x + \frac{121}{4}}$

Étape 3

Simplifiez $\pm \sqrt{x^{2} + 11 x + \frac{121}{4}}$ .

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Étape 3.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $121$ comme $11^{2}$ .

$x + n = \pm \sqrt{x^{2} + 11 x + \frac{11^{2}}{4}}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x + n = \pm \sqrt{x^{2} + 11 x + \frac{11^{2}}{2^{2}}}$

Étape 3.1.3

Réécrivez $\frac{11^{2}}{2^{2}}$ comme ${(\frac{11}{2})}^{2}$ .

$x + n = \pm \sqrt{x^{2} + 11 x + {(\frac{11}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.4

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$11 x = 2 \cdot x \cdot \frac{11}{2}$

Étape 3.1.5

Réécrivez le polynôme.

$x + n = \pm \sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{11}{2} + {(\frac{11}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.6

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = \frac{11}{2}$ .

$x + n = \pm \sqrt{{(x + \frac{11}{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x + n = \pm \sqrt{{(x \cdot \frac{2}{2} + \frac{11}{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1

Associez $x$ et $\frac{2}{2}$ .

$x + n = \pm \sqrt{{(\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{11}{2})}^{2}}$

Étape 3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x + n = \pm \sqrt{{(\frac{x \cdot 2 + 11}{2})}^{2}}$

Étape 3.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x + n = \pm \sqrt{{(\frac{2 x + 11}{2})}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 x + 11}{2}$ .

$x + n = \pm \sqrt{\frac{{(2 x + 11)}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 3.5.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x + n = \pm \sqrt{\frac{{(2 x + 11)}^{2}}{4}}$

Étape 3.5.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x + n = \pm \sqrt{\frac{{(2 x + 11)}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 3.6

Réécrivez $\frac{{(2 x + 11)}^{2}}{2^{2}}$ comme ${(\frac{2 x + 11}{2})}^{2}$ .

$x + n = \pm \sqrt{{(\frac{2 x + 11}{2})}^{2}}$

Étape 3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x + n = \pm \frac{2 x + 11}{2}$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x + n = \frac{2 x + 11}{2}$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $n$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$n = \frac{2 x + 11}{2} - x$

Étape 4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1

Divisez la fraction $\frac{2 x + 11}{2}$ en deux fractions.

$n = \frac{2 x}{2} + \frac{11}{2} - x$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$n = \frac{2 x}{2} + \frac{11}{2} - x$

Étape 4.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$n = x + \frac{11}{2} - x$

Étape 4.2.3

Associez les termes opposés dans $x + \frac{11}{2} - x$ .

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$n = 0 + \frac{11}{2}$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $0$ et $\frac{11}{2}$ .

$n = \frac{11}{2}$

Étape 4.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x + n = - \frac{2 x + 11}{2}$

Étape 4.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $n$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.4.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$n = - \frac{2 x + 11}{2} - x$

Étape 4.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1

Divisez la fraction $\frac{2 x + 11}{2}$ en deux fractions.

$n = - (\frac{2 x}{2} + \frac{11}{2}) - x$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$n = - (\frac{2 x}{2} + \frac{11}{2}) - x$

Étape 4.4.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$n = - (x + \frac{11}{2}) - x$

Étape 4.4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$n = - x - \frac{11}{2} - x$

Étape 4.4.3

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$n = - 2 x - \frac{11}{2}$

Étape 4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$n = \frac{11}{2}$

$n = - 2 x - \frac{11}{2}$

$n = \frac{11}{2}$

$n = - 2 x - \frac{11}{2}$