Algèbre Exemples

$8 x + y^{2} - 2 y = 64 - y^{2}$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Ajoutez $y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$8 x + y^{2} - 2 y + y^{2} = 64$

Étape 1.1.2

Additionnez $y^{2}$ et $y^{2}$ .

$8 x + 2 y^{2} - 2 y = 64$

Étape 1.2

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$8 x + 2 y^{2} - 2 y - 64 = 0$

Étape 1.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.4

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 2$ et $c = 8 x - 64$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (8 x - 64))}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot (8 x - 64)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot (8 x - 64)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 (8 x) - 8 \cdot - 64}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $8$ par $- 8$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 64 x - 8 \cdot - 64}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.1.5

Multipliez $- 8$ par $- 64$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 64 x + 512}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.1.6

Additionnez $4$ et $512$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 64 x + 516}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.1.7

Factorisez $4$ à partir de $- 64 x + 516$ .

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Étape 1.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $- 64 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 16 x) + 516}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $516$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 16 x) + 4 (129)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.1.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 16 x) + 4 (129)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 16 x + 129)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.1.8

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 16 x + 129)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 16 x + 129}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 16 x + 129}}{4}$

Étape 1.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 16 x + 129}}{4}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

Étape 1.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot (8 x - 64)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot (8 x - 64)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 (8 x) - 8 \cdot - 64}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.1.4

Multipliez $8$ par $- 8$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 64 x - 8 \cdot - 64}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.1.5

Multipliez $- 8$ par $- 64$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 64 x + 512}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.1.6

Additionnez $4$ et $512$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 64 x + 516}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.1.7

Factorisez $4$ à partir de $- 64 x + 516$ .

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Étape 1.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $- 64 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 16 x) + 516}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $516$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 16 x) + 4 (129)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.1.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 16 x) + 4 (129)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 16 x + 129)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.1.8

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 16 x + 129)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 16 x + 129}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 16 x + 129}}{4}$

Étape 1.6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 16 x + 129}}{4}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

Étape 1.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

Étape 1.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot (8 x - 64)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot (8 x - 64)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 (8 x) - 8 \cdot - 64}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.7.1.4

Multipliez $8$ par $- 8$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 64 x - 8 \cdot - 64}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.7.1.5

Multipliez $- 8$ par $- 64$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 64 x + 512}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.7.1.6

Additionnez $4$ et $512$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 64 x + 516}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.7.1.7

Factorisez $4$ à partir de $- 64 x + 516$ .

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Étape 1.7.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $- 64 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 16 x) + 516}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.7.1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $516$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 16 x) + 4 (129)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.7.1.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 16 x) + 4 (129)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 16 x + 129)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.7.1.8

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 16 x + 129)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.7.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 16 x + 129}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 16 x + 129}}{4}$

Étape 1.7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 16 x + 129}}{4}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

Étape 1.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

Étape 1.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{1 + \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

Étape 2

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{1 + \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$ en deux fractions.

$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

Étape 4

Divisez la fraction $\frac{1 - \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$ en deux fractions.

$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

$y = \frac{1}{2} + \frac{- \sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{- 16 x + 129}}{2}$

Étape 6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 16 x + 129}$

$y = \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 16 x + 129})$

Étape 7

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 16 x + 129}$

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 16 x + 129}$

Étape 8