Algèbre Exemples

$\frac{x + 2}{x + 4} - \frac{3 x}{4 - x} = \frac{3 x}{x - 4}$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x + 4, 4 - x, x - 4$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 1.5

Le facteur pour $x + 4$ est $x + 4$ lui-même.

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.6

Le facteur pour $4 - x$ est $4 - x$ lui-même.

$(4 - x) = 4 - x$

$(4 - x)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.7

Le facteur pour $x - 4$ est $x - 4$ lui-même.

$(x - 4) = x - 4$

$(x - 4)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.8

Le plus petit multiple commun de $x + 4, 4 - x, x - 4$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x + 4) (4 - x) (x - 4)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{x + 2}{x + 4} - \frac{3 x}{4 - x} = \frac{3 x}{x - 4}$ par $(x + 4) (4 - x) (x - 4)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x + 2}{x + 4} - \frac{3 x}{4 - x} = \frac{3 x}{x - 4}$ par $(x + 4) (4 - x) (x - 4)$ .

$\frac{x + 2}{x + 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) - \frac{3 x}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x + 4) (4 - x) (x - 4)$ .

$\frac{x + 2}{x + 4} ((x + 4) ((4 - x) (x - 4))) - \frac{3 x}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 2}{x + 4} ((x + 4) ((4 - x) (x - 4))) - \frac{3 x}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$(x + 2) ((4 - x) (x - 4)) - \frac{3 x}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$(x + 2) ((- 1 (- 4) - x) (x - 4)) - \frac{3 x}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$(x + 2) ((- 1 (- 4) - (x)) (x - 4)) - \frac{3 x}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 4) - (x)$ .

$(x + 2) (- 1 (- 4 + x) (x - 4)) - \frac{3 x}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 2) (- 1 (x - 4) (x - 4)) - \frac{3 x}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.6

Élevez $x - 4$ à la puissance $1$ .

$(x + 2) (- 1 ({(x - 4)}^{1} (x - 4))) - \frac{3 x}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.7

Élevez $x - 4$ à la puissance $1$ .

$(x + 2) (- 1 ({(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{1})) - \frac{3 x}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 2) (- 1 {(x - 4)}^{1 + 1}) - \frac{3 x}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$(x + 2) (- 1 {(x - 4)}^{2}) - \frac{3 x}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.10

Réécrivez $- 1 {(x - 4)}^{2}$ comme $- {(x - 4)}^{2}$ .

$(x + 2) (- {(x - 4)}^{2}) - \frac{3 x}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.11

Appliquez la propriété distributive.

$x (- {(x - 4)}^{2}) + 2 (- {(x - 4)}^{2}) - \frac{3 x}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x {(x - 4)}^{2} + 2 (- {(x - 4)}^{2}) - \frac{3 x}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.13

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - \frac{3 x}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.14

Annulez le facteur commun de $4 - x$ .

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Étape 2.2.1.14.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 x}{4 - x}$ dans le numérateur.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} + \frac{- 3 x}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.14.2

Factorisez $4 - x$ à partir de $(x + 4) (4 - x) (x - 4)$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} + \frac{- 3 x}{4 - x} ((4 - x) ((x + 4) (x - 4))) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.14.3

Annulez le facteur commun.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} + \frac{- 3 x}{4 - x} ((4 - x) ((x + 4) (x - 4))) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.14.4

Réécrivez l’expression.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x ((x + 4) (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.15

Développez $(x + 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x (x (x - 4) + 4 (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.15.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.16

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

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Étape 2.2.1.16.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 4$ et $4 x$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.16.2

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.16.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x (x \cdot x + 4 \cdot - 4) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.17

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.17.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x (x^{2} + 4 \cdot - 4) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.17.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x (x^{2} - 16) = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.18

Appliquez la propriété distributive.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 16 = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.19

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.19.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 (x^{2} x) - 3 x \cdot - 16 = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.19.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.2.1.19.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 (x^{2} x^{1}) - 3 x \cdot - 16 = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.19.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{2 + 1} - 3 x \cdot - 16 = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.19.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} - 3 x \cdot - 16 = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.2.1.20

Multipliez $- 16$ par $- 3$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = \frac{3 x}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $x - 4$ à partir de $(x + 4) (4 - x) (x - 4)$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = \frac{3 x}{x - 4} ((x - 4) ((x + 4) (4 - x)))$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = \frac{3 x}{x - 4} ((x - 4) ((x + 4) (4 - x)))$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 x ((x + 4) (4 - x))$

Étape 2.3.2

Développez $(x + 4) (4 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 x (x (4 - x) + 4 (4 - x))$

Étape 2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 x (x \cdot 4 + x (- x) + 4 (4 - x))$

Étape 2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 x (x \cdot 4 + x (- x) + 4 \cdot 4 + 4 (- x))$

Étape 2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 x (4 \cdot x + x (- x) + 4 \cdot 4 + 4 (- x))$

Étape 2.3.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 x (4 x - x \cdot x + 4 \cdot 4 + 4 (- x))$

Étape 2.3.3.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 x (4 x - (x \cdot x) + 4 \cdot 4 + 4 (- x))$

Étape 2.3.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 x (4 x - x^{2} + 4 \cdot 4 + 4 (- x))$

Étape 2.3.3.1.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 x (4 x - x^{2} + 16 + 4 (- x))$

Étape 2.3.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 x (4 x - x^{2} + 16 - 4 x)$

Étape 2.3.3.2

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 x (- x^{2} + 16 + 0)$

Étape 2.3.3.3

Additionnez $- x^{2}$ et $0$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 x (- x^{2} + 16)$

Étape 2.3.4

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 x (- x^{2}) + 3 x \cdot 16$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 3 x \cdot 16$

Étape 2.3.4.2.2

Multipliez $16$ par $3$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 48 x$

Étape 2.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.5.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 \cdot - 1 (x^{2} x) + 48 x$

Étape 2.3.5.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.3.5.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 48 x$

Étape 2.3.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 48 x$

Étape 2.3.5.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = 3 \cdot - 1 x^{3} + 48 x$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x = - 3 x^{3} + 48 x$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Ajoutez $3 x^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x + 3 x^{3} = 48 x$

Étape 3.1.2

Soustrayez $48 x$ des deux côtés de l’équation.

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x + 3 x^{3} - 48 x = 0$

Étape 3.1.3

Associez les termes opposés dans $- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} - 3 x^{3} + 48 x + 3 x^{3} - 48 x$ .

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Étape 3.1.3.1

Additionnez $- 3 x^{3}$ et $3 x^{3}$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} + 48 x + 0 - 48 x = 0$

Étape 3.1.3.2

Additionnez $- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} + 48 x$ et $0$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} + 48 x - 48 x = 0$

Étape 3.1.3.3

Soustrayez $48 x$ de $48 x$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} + 0 = 0$

Étape 3.1.3.4

Additionnez $- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2}$ et $0$ .

$- x {(x - 4)}^{2} - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.4.1

Réécrivez ${(x - 4)}^{2}$ comme $(x - 4) (x - 4)$ .

$- x ((x - 4) (x - 4)) - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4.2

Développez $(x - 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x (x (x - 4) - 4 (x - 4)) - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.4.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4.3.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$- x (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4.3.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$- x (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4.3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$- x (x^{2} - 8 x + 16) - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$- x \cdot x^{2} - x (- 8 x) - x \cdot 16 - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4.5

Simplifiez

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Étape 3.1.4.5.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.4.5.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- (x^{2} x) - x (- 8 x) - x \cdot 16 - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4.5.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.1.4.5.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (x^{2} x^{1}) - x (- 8 x) - x \cdot 16 - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{2 + 1} - x (- 8 x) - x \cdot 16 - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4.5.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- x^{3} - x (- 8 x) - x \cdot 16 - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x^{3} - 1 \cdot - 8 x \cdot x - x \cdot 16 - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4.5.3

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 8 x \cdot x - 16 x - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.4.6.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.4.6.1.1

Déplacez $x$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 8 (x \cdot x) - 16 x - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 8 x^{2} - 16 x - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$- x^{3} + 8 x^{2} - 16 x - 2 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.1.4.7

Réécrivez ${(x - 4)}^{2}$ comme $(x - 4) (x - 4)$ .

$- x^{3} + 8 x^{2} - 16 x - 2 ((x - 4) (x - 4)) = 0$

Étape 3.1.4.8

Développez $(x - 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.4.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{3} + 8 x^{2} - 16 x - 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) = 0$

Étape 3.1.4.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{3} + 8 x^{2} - 16 x - 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) = 0$

Étape 3.1.4.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{3} + 8 x^{2} - 16 x - 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) = 0$

Étape 3.1.4.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.4.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.4.9.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x^{3} + 8 x^{2} - 16 x - 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) = 0$

Étape 3.1.4.9.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$- x^{3} + 8 x^{2} - 16 x - 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) = 0$

Étape 3.1.4.9.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$- x^{3} + 8 x^{2} - 16 x - 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) = 0$

Étape 3.1.4.9.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$- x^{3} + 8 x^{2} - 16 x - 2 (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

Étape 3.1.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{3} + 8 x^{2} - 16 x - 2 x^{2} - 2 (- 8 x) - 2 \cdot 16 = 0$

Étape 3.1.4.11

Simplifiez

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Étape 3.1.4.11.1

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$- x^{3} + 8 x^{2} - 16 x - 2 x^{2} + 16 x - 2 \cdot 16 = 0$

Étape 3.1.4.11.2

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$- x^{3} + 8 x^{2} - 16 x - 2 x^{2} + 16 x - 32 = 0$

Étape 3.1.5

Associez les termes opposés dans $- x^{3} + 8 x^{2} - 16 x - 2 x^{2} + 16 x - 32$ .

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Étape 3.1.5.1

Additionnez $- 16 x$ et $16 x$ .

$- x^{3} + 8 x^{2} - 2 x^{2} + 0 - 32 = 0$

Étape 3.1.5.2

Additionnez $- x^{3} + 8 x^{2} - 2 x^{2}$ et $0$ .

$- x^{3} + 8 x^{2} - 2 x^{2} - 32 = 0$

Étape 3.1.6

Soustrayez $2 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$- x^{3} + 6 x^{2} - 32 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3} + 6 x^{2} - 32$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 6 x^{2} - 32 = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $6 x^{2}$ .

$- (x^{3}) - (- 6 x^{2}) - 32 = 0$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez $- 32$ comme $- 1 (32)$ .

$- (x^{3}) - (- 6 x^{2}) - 1 \cdot 32 = 0$

Étape 3.2.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - (- 6 x^{2})$ .

$- (x^{3} - 6 x^{2}) - 1 \cdot 32 = 0$

Étape 3.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (32)$ .

$- (x^{3} - 6 x^{2} + 32) = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 3.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Étape 3.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Étape 3.2.2.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.2.2.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

${(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Étape 3.2.2.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Étape 3.2.2.3.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 8 - 6 \cdot 4 + 32$

Étape 3.2.2.3.4

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$- 8 - 24 + 32$

Étape 3.2.2.3.5

Soustrayez $24$ de $- 8$ .

$- 32 + 32$

Étape 3.2.2.3.6

Additionnez $- 32$ et $32$ .

$0$

Étape 3.2.2.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 32}{x + 2}$

Étape 3.2.2.5

Divisez $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ par $x + 2$ .

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Étape 3.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

Étape 3.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$

Étape 3.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 3.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 3.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Étape 3.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 3.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 3.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Étape 3.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 8 x^{2} - 16 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Étape 3.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

Étape 3.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Étape 3.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $16 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Étape 3.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							+	$16 x$	+	$32$

Étape 3.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $16 x + 32$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$

Étape 3.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$
										$0$

Étape 3.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 8 x + 16$

Étape 3.2.2.6

Écrivez $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ comme un ensemble de facteurs.

$- ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez.

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Étape 3.2.3.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.2.3.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Étape 3.2.3.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 3.2.3.1.3

Réécrivez le polynôme.

$- ((x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Étape 3.2.3.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$- ((x + 2) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Étape 3.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 3.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3.5

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez ${(x - 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 3.5.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 2, 4$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{x + 2}{x + 4} - \frac{3 x}{4 - x} = \frac{3 x}{x - 4}$ vrai.

$x = - 2$