Algèbre Exemples

$\frac{\frac{4 x^{2} + 2 x}{x^{2} + x - 2}}{\frac{8 x^{2} + 4 x}{3 x^{2} + 10 x + 8}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{4 x^{2} + 2 x}{x^{2} + x - 2} \cdot \frac{3 x^{2} + 10 x + 8}{8 x^{2} + 4 x}$

Étape 2

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x (2 x) + 2 x}{x^{2} + x - 2} \cdot \frac{3 x^{2} + 10 x + 8}{8 x^{2} + 4 x}$

Étape 2.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 x (2 x) + 2 x (1)}{x^{2} + x - 2} \cdot \frac{3 x^{2} + 10 x + 8}{8 x^{2} + 4 x}$

Étape 2.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (2 x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (2 x + 1)}{x^{2} + x - 2} \cdot \frac{3 x^{2} + 10 x + 8}{8 x^{2} + 4 x}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 x (2 x + 1)}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{3 x^{2} + 10 x + 8}{8 x^{2} + 4 x}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ et dont la somme est $b = 10$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x$ .

$\frac{2 x (2 x + 1)}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{3 x^{2} + 10 (x) + 8}{8 x^{2} + 4 x}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $10$ comme $4$ plus $6$

$\frac{2 x (2 x + 1)}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{3 x^{2} + (4 + 6) x + 8}{8 x^{2} + 4 x}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (2 x + 1)}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{3 x^{2} + 4 x + 6 x + 8}{8 x^{2} + 4 x}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 x (2 x + 1)}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{(3 x^{2} + 4 x) + 6 x + 8}{8 x^{2} + 4 x}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 x (2 x + 1)}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{x (3 x + 4) + 2 (3 x + 4)}{8 x^{2} + 4 x}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 4$ .

$\frac{2 x (2 x + 1)}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{(3 x + 4) (x + 2)}{8 x^{2} + 4 x}$

Étape 5

Factorisez $4 x$ à partir de $8 x^{2} + 4 x$ .

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Étape 5.1

Factorisez $4 x$ à partir de $8 x^{2}$ .

$\frac{2 x (2 x + 1)}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{(3 x + 4) (x + 2)}{4 x (2 x) + 4 x}$

Étape 5.2

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 x (2 x + 1)}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{(3 x + 4) (x + 2)}{4 x (2 x) + 4 x (1)}$

Étape 5.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (2 x) + 4 x (1)$ .

$\frac{2 x (2 x + 1)}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{(3 x + 4) (x + 2)}{4 x (2 x + 1)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $2 x (2 x + 1)$ .

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Étape 6.1

Factorisez $2 x (2 x + 1)$ à partir de $4 x (2 x + 1)$ .

$\frac{2 x (2 x + 1)}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{(3 x + 4) (x + 2)}{2 x (2 x + 1) (2)}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x (2 x + 1)}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{(3 x + 4) (x + 2)}{2 x (2 x + 1) \cdot 2}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{(3 x + 4) (x + 2)}{2}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{1}{(x + 2) (x - 1)} \cdot \frac{(3 x + 4) (x + 2)}{2}$

Étape 7.2

Factorisez $x + 2$ à partir de $(3 x + 4) (x + 2)$ .

$\frac{1}{(x + 2) (x - 1)} \cdot \frac{(x + 2) (3 x + 4)}{2}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x + 2) (x - 1)} \cdot \frac{(x + 2) (3 x + 4)}{2}$

Étape 7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{3 x + 4}{2}$

Étape 8

Multipliez $\frac{1}{x - 1}$ par $\frac{3 x + 4}{2}$ .

$\frac{3 x + 4}{(x - 1) \cdot 2}$

Étape 9

Déplacez $2$ à gauche de $x - 1$ .

$\frac{3 x + 4}{2 (x - 1)}$