Algèbre Exemples

$\frac{5 x + 7}{x - 2} - \frac{2 x + 21}{x + 2} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{5 x + 7}{x - 2} - \frac{2 x + 21}{x + 2}$ .

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Étape 1.1.1

Pour écrire $\frac{5 x + 7}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{5 x + 7}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{2 x + 21}{x + 2} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.2

Pour écrire $- \frac{2 x + 21}{x + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{5 x + 7}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{2 x + 21}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 2) (x + 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $\frac{5 x + 7}{x - 2}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(5 x + 7) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{2 x + 21}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $\frac{2 x + 21}{x + 2}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(5 x + 7) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{(2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{(5 x + 7) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{(2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(5 x + 7) (x + 2) - (2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.5.1

Développez $(5 x + 7) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x (x + 2) + 7 (x + 2) - (2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot 2 + 7 (x + 2) - (2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot 2 + 7 x + 7 \cdot 2 - (2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.5.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 2 + 7 x + 7 \cdot 2 - (2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 x \cdot 2 + 7 x + 7 \cdot 2 - (2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.2.1.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{5 x^{2} + 10 x + 7 x + 7 \cdot 2 - (2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.2.1.3

Multipliez $7$ par $2$ .

$\frac{5 x^{2} + 10 x + 7 x + 14 - (2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.2.2

Additionnez $10 x$ et $7 x$ .

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 - (2 x + 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 + (- (2 x) - 1 \cdot 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 + (- 2 x - 1 \cdot 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.5

Multipliez $- 1$ par $21$ .

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 + (- 2 x - 21) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.6

Développez $(- 2 x - 21) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 - 2 x (x - 2) - 21 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 21 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 21 x - 21 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.5.7.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 - 21 x - 21 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.7.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 21 x - 21 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.7.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 - 2 x^{2} + 4 x - 21 x - 21 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.7.1.3

Multipliez $- 21$ par $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 - 2 x^{2} + 4 x - 21 x + 42}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.7.2

Soustrayez $21 x$ de $4 x$ .

$\frac{5 x^{2} + 17 x + 14 - 2 x^{2} - 17 x + 42}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 17 x + 14 - 17 x + 42}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.9

Soustrayez $17 x$ de $17 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 0 + 14 + 42}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.10

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{3 x^{2} + 14 + 42}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 1.1.5.11

Additionnez $14$ et $42$ .

$\frac{3 x^{2} + 56}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \frac{2}{3}$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Convertissez $8 \frac{2}{3}$ en fraction irrégulière.

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Étape 2.1.1

Un nombre mixte est une addition de ses parties entière et fractionnaire.

$\frac{3 x^{2} + 56}{(x + 2) (x - 2)} = 8 + \frac{2}{3}$

Étape 2.1.2

Additionnez $8$ et $\frac{2}{3}$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 x^{2} + 56}{(x + 2) (x - 2)} = 8 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 2.1.2.2

Associez $8$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 x^{2} + 56}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 2.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{2} + 56}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{8 \cdot 3 + 2}{3}$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.4.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 56}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{24 + 2}{3}$

Étape 2.1.2.4.2

Additionnez $24$ et $2$ .

$\frac{3 x^{2} + 56}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{26}{3}$

Étape 3

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$(3 x^{2} + 56) \cdot 3 = (x + 2) (x - 2) \cdot 26$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$(x + 2) (x - 2) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Étape 4.2

Simplifiez $(x + 2) (x - 2) \cdot 26$ .

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Étape 4.2.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (x + 2) (x - 2) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(x + 2) (x - 2) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Étape 4.2.3

Développez $(x + 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x (x - 2) + 2 (x - 2)) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Étape 4.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Étape 4.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Étape 4.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 4.2.4.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 2$ et $2 x$ .

$(x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Étape 4.2.4.1.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$(x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Étape 4.2.4.1.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$(x \cdot x + 2 \cdot - 2) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Étape 4.2.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + 2 \cdot - 2) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Étape 4.2.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$(x^{2} - 4) \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Étape 4.2.4.3

Simplifiez en multipliant.

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Étape 4.2.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \cdot 26 - 4 \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Étape 4.2.4.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.4.3.2.1

Déplacez $26$ à gauche de $x^{2}$ .

$26 \cdot x^{2} - 4 \cdot 26 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Étape 4.2.4.3.2.2

Multipliez $- 4$ par $26$ .

$26 x^{2} - 104 = (3 x^{2} + 56) \cdot 3$

Étape 4.3

Simplifiez $(3 x^{2} + 56) \cdot 3$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$26 x^{2} - 104 = 3 x^{2} \cdot 3 + 56 \cdot 3$

Étape 4.3.2

Multipliez.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$26 x^{2} - 104 = 9 x^{2} + 56 \cdot 3$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $56$ par $3$ .

$26 x^{2} - 104 = 9 x^{2} + 168$

Étape 4.4

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.4.1

Soustrayez $9 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$26 x^{2} - 104 - 9 x^{2} = 168$

Étape 4.4.2

Soustrayez $9 x^{2}$ de $26 x^{2}$ .

$17 x^{2} - 104 = 168$

Étape 4.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.5.1

Ajoutez $104$ aux deux côtés de l’équation.

$17 x^{2} = 168 + 104$

Étape 4.5.2

Additionnez $168$ et $104$ .

$17 x^{2} = 272$

Étape 4.6

Divisez chaque terme dans $17 x^{2} = 272$ par $17$ et simplifiez.

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Étape 4.6.1

Divisez chaque terme dans $17 x^{2} = 272$ par $17$ .

$\frac{17 x^{2}}{17} = \frac{272}{17}$

Étape 4.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.1

Annulez le facteur commun de $17$ .

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Étape 4.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{17 x^{2}}{17} = \frac{272}{17}$

Étape 4.6.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{272}{17}$

Étape 4.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.6.3.1

Divisez $272$ par $17$ .

$x^{2} = 16$

Étape 4.7

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{16}$

Étape 4.8

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 4.8.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 4.9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.9.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 4.9.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 4.9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$