Algèbre Exemples

$f (x) < - \sqrt{x + 2} - 4$

Étape 1

Soustrayez $f (x)$ des deux côtés de l’inégalité.

$0 < - \sqrt{x + 2} - 4 - f (x)$

Étape 2

Déterminez la pente et l’ordonnée à l’origine de la ligne séparatrice.

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Étape 2.1

Réécrivez en forme affine.

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Étape 2.1.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 2.1.2

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$- \sqrt{x + 2} - 4 - f (x) > 0$

Étape 2.1.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- \sqrt{x + 2}$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 2.1.3.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- \sqrt{x + 2} - f (x) > 4$

Étape 2.1.3.2

Ajoutez $f (x)$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- \sqrt{x + 2} > 4 + f (x)$

Étape 2.1.4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(- \sqrt{x + 2})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Étape 2.1.5

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 2}$ comme ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Étape 2.1.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.5.2.1

Simplifiez ${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.1.5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Étape 2.1.5.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Étape 2.1.5.2.1.3

Multipliez ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Étape 2.1.5.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.1.5.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Étape 2.1.5.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.5.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Étape 2.1.5.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 2)}^{1} > {(4 + f (x))}^{2}$

Étape 2.1.5.2.1.5

Simplifiez

$x + 2 > {(4 + f (x))}^{2}$

Étape 2.1.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.5.3.1

Simplifiez ${(4 + f (x))}^{2}$ .

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Étape 2.1.5.3.1.1

Réécrivez ${(4 + f (x))}^{2}$ comme $(4 + f (x)) (4 + f (x))$ .

$x + 2 > (4 + f (x)) (4 + f (x))$

Étape 2.1.5.3.1.2

Développez $(4 + f (x)) (4 + f (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.5.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 2 > 4 (4 + f (x)) + f (x) (4 + f (x))$

Étape 2.1.5.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 2 > 4 \cdot 4 + 4 f (x) + f (x) (4 + f (x))$

Étape 2.1.5.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 2 > 4 \cdot 4 + 4 f (x) + f (x) \cdot 4 + f (x) f (x)$

Étape 2.1.5.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.5.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.5.3.1.3.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + f (x) \cdot 4 + f (x) f (x)$

Étape 2.1.5.3.1.3.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $f (x)$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 \cdot f (x) + f (x) f (x)$

Étape 2.1.5.3.1.3.1.3

Multipliez $f (x) f (x)$ .

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Étape 2.1.5.3.1.3.1.3.1

Élevez $f (x)$ à la puissance $1$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{1} f (x)$

Étape 2.1.5.3.1.3.1.3.2

Élevez $f (x)$ à la puissance $1$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{1} {f (x)}^{1}$

Étape 2.1.5.3.1.3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{1 + 1}$

Étape 2.1.5.3.1.3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{2}$

Étape 2.1.5.3.1.3.2

Additionnez $4 f (x)$ et $4 f (x)$ .

$x + 2 > 16 + 8 f (x) + {f (x)}^{2}$

Étape 2.1.6

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1.6.1

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$16 + 8 f x + f x^{2} < x + 2$

Étape 2.1.6.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’inégalité.

$16 + 8 f x + f x^{2} - x < 2$

Étape 2.1.6.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 2.1.6.3.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$16 + 8 f x + f x^{2} - x - 2 < 0$

Étape 2.1.6.3.2

Soustrayez $2$ de $16$ .

$8 f x + f x^{2} - x + 14 < 0$

Étape 2.1.6.4

Convertissez l’inégalité en une équation.

$8 f x + f x^{2} - x + 14 = 0$

Étape 2.1.6.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.1.6.6

Remplacez les valeurs $a = f$ , $b = 8 f - 1$ et $c = 14$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- (8 f - 1) \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot (f \cdot 14)}}{2 f}$

Étape 2.1.6.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.6.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- (8 f) + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.7.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.7.4

Réécrivez ${(8 f - 1)}^{2}$ comme $(8 f - 1) (8 f - 1)$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{(8 f - 1) (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.7.5

Développez $(8 f - 1) (8 f - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.6.7.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f - 1) - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.7.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.7.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.7.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.6.7.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.6.7.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f \cdot f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.7.6.1.2

Multipliez $f$ par $f$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.6.7.6.1.2.1

Déplacez $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 (f \cdot f)) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.7.6.1.2.2

Multipliez $f$ par $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f^{2}) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.7.6.1.3

Multipliez $8$ par $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.7.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.7.6.1.5

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.7.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.7.6.2

Soustrayez $8 f$ de $- 8 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.7.7

Multipliez $14$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 56 f}}{2 f}$

Étape 2.1.6.7.8

Soustrayez $56 f$ de $- 16 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Étape 2.1.6.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.1.6.8.1

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Étape 2.1.6.8.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 f$ .

$x = \frac{- (8 f) + 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Étape 2.1.6.8.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$x = \frac{- (8 f) - 1 \cdot - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Étape 2.1.6.8.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (8 f) - 1 (- 1)$ .

$x = \frac{- (8 f - 1) + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Étape 2.1.6.8.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}$ .

$x = \frac{- (8 f - 1) - 1 (- \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Étape 2.1.6.8.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (8 f - 1) - 1 (- \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ .

$x = \frac{- (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Étape 2.1.6.8.7

Réécrivez $- (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ comme $- 1 (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ .

$x = \frac{- 1 (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Étape 2.1.6.8.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.1.6.9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.6.9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- (8 f) + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.1.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.1.4

Réécrivez ${(8 f - 1)}^{2}$ comme $(8 f - 1) (8 f - 1)$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{(8 f - 1) (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.1.5

Développez $(8 f - 1) (8 f - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.6.9.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f - 1) - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.6.9.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.6.9.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f \cdot f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.1.6.1.2

Multipliez $f$ par $f$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.6.9.1.6.1.2.1

Déplacez $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 (f \cdot f)) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.1.6.1.2.2

Multipliez $f$ par $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f^{2}) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.1.6.1.3

Multipliez $8$ par $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.1.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.1.6.1.5

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.1.6.2

Soustrayez $8 f$ de $- 8 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.1.7

Multipliez $14$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 56 f}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.1.8

Soustrayez $56 f$ de $- 16 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.2

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 f$ .

$x = \frac{- (8 f) + 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$x = \frac{- (8 f) - 1 \cdot - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (8 f) - 1 (- 1)$ .

$x = \frac{- (8 f - 1) - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}$ .

$x = \frac{- (8 f - 1) - (\sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (8 f - 1) - (\sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ .

$x = \frac{- (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.8

Réécrivez $- (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ comme $- 1 (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ .

$x = \frac{- 1 (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Étape 2.1.6.9.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Étape 2.1.6.10

Consolidez les solutions.

$x = - \frac{8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$x = - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$x = - \frac{8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$x = - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Étape 2.1.7

Réécrivez en forme affine.

$= - \frac{8 - 1 - \sqrt{64^{2} - 72 + 1}}{2}$

$= f - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$= - \frac{8 - 1 - \sqrt{64^{2} - 72 + 1}}{2}$

$= f - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Étape 2.2

L’équation n’est pas linéaire, si bien qu’il n’existe pas de la pente constante.

Pas linéaire

Étape 3

Représentez une droite tiretée, puis ombrez la surface sous la ligne séparatrice étant donné que $y$ est inférieur à $- \sqrt{x + 2} - 4 - f (x)$ .

$0 < - \sqrt{x + 2} - 4 - f (x)$

Étape 4