Algèbre Exemples

$f (x) = x^{5} - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x$

Étape 1

Définissez $x^{5} - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x$ égal à $0$ .

$x^{5} - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 6 x^{4}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 6 x^{3}) + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $8 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 6 x^{3}) + x (8 x^{2}) + 6 x^{2} - 9 x = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $6 x^{2}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 6 x^{3}) + x (8 x^{2}) + x (6 x) - 9 x = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $- 9 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 6 x^{3}) + x (8 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 9 = 0$

Étape 2.1.1.6

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (- 6 x^{3})$ .

$x (x^{4} - 6 x^{3}) + x (8 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 9 = 0$

Étape 2.1.1.7

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} - 6 x^{3}) + x (8 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 9 = 0$

Étape 2.1.1.8

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2}) + x (6 x)$ .

$x (x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2} + 6 x) + x \cdot - 9 = 0$

Étape 2.1.1.9

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2} + 6 x) + x \cdot - 9$ .

$x (x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2} + 6 x - 9) = 0$

Étape 2.1.2

Regroupez les termes.

$x (- 6 x^{3} + 6 x + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $- 6 x$ à partir de $- 6 x^{3} + 6 x$ .

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Étape 2.1.3.1

Factorisez $- 6 x$ à partir de $- 6 x^{3}$ .

$x (- 6 x \cdot x^{2} + 6 x + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Étape 2.1.3.2

Factorisez $- 6 x$ à partir de $6 x$ .

$x (- 6 x \cdot x^{2} - 6 x \cdot - 1 + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Étape 2.1.3.3

Factorisez $- 6 x$ à partir de $- 6 x (x^{2}) - 6 x (- 1)$ .

$x (- 6 x (x^{2} - 1) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Étape 2.1.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x (- 6 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez.

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Étape 2.1.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$x (- 6 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Étape 2.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Étape 2.1.6

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Étape 2.1.7

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} + 8 u - 9) = 0$

Étape 2.1.8

Factorisez $u^{2} + 8 u - 9$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.8.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 9$ et dont la somme est $8$ .

$- 1, 9$

Étape 2.1.8.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (u + 9)) = 0$

Étape 2.1.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Étape 2.1.10

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 9)) = 0$

Étape 2.1.11

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Étape 2.1.12

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $- 6 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ .

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Étape 2.1.12.1

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $- 6 x (x + 1) (x - 1)$ .

$x ((x + 1) (x - 1) (- 6 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Étape 2.1.12.2

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $(x + 1) (x - 1) (- 6 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ .

$x ((x + 1) (x - 1) (- 6 x + x^{2} + 9)) = 0$

Étape 2.1.13

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$x ((x + 1) (x - 1) (- 6 u + u^{2} + 9)) = 0$

Étape 2.1.14

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.14.1

Réorganisez les termes.

$x ((x + 1) (x - 1) (u^{2} - 6 u + 9)) = 0$

Étape 2.1.14.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x ((x + 1) (x - 1) (u^{2} - 6 u + 3^{2})) = 0$

Étape 2.1.14.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Étape 2.1.14.4

Réécrivez le polynôme.

$x ((x + 1) (x - 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Étape 2.1.14.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 3$ .

$x ((x + 1) (x - 1) {(u - 3)}^{2}) = 0$

Étape 2.1.15

Factorisez.

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Étape 2.1.15.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$x ((x + 1) (x - 1) {(x - 3)}^{2}) = 0$

Étape 2.1.15.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 1) (x - 1) {(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.6

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez ${(x - 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.6.2.1

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.6.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 1) (x - 1) {(x - 3)}^{2} = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = 0$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 1$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 1$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 3$ (Multiplicité de $2$ )

$x = 0$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 1$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 1$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 3$ (Multiplicité de $2$ )

Étape 3