Algèbre Exemples

$h (x) = - \frac{44 x^{2}}{v^{2}} + x + 6$

Étape 1

Déterminez où l’expression $- \frac{44 x^{2}}{v^{2}} + x + 6$ est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 0$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Associez.

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Étape 6.1.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{v^{2}}{v^{2}}$ .

$- \frac{44 x^{2}}{v^{2}} + \frac{x v^{2}}{v^{2}} + 6$

Étape 6.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 44 x^{2} + x v^{2}}{v^{2}} + 6$

Étape 6.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 44 x^{2} + x v^{2}$ .

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Étape 6.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- 44 x^{2}$ .

$\frac{x (- 44 x) + x v^{2}}{v^{2}} + 6$

Étape 6.1.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x v^{2}$ .

$\frac{x (- 44 x) + x (v^{2})}{v^{2}} + 6$

Étape 6.1.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 44 x) + x (v^{2})$ .

$\frac{x (- 44 x + v^{2})}{v^{2}} + 6$

Étape 6.1.4

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{v^{2}}{v^{2}}$ .

$\frac{x (- 44 x + v^{2})}{v^{2}} + \frac{6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (- 44 x + v^{2}) + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (- 44 x) + x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.1.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 44 x \cdot x + x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.1.6.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.6.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 44 (x \cdot x) + x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.1.6.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 44 x^{2} + x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.1.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1.7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 44 x^{2}$ .

$\frac{- (44 x^{2}) + x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.1.7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $x v^{2}$ .

$\frac{- (44 x^{2}) - (- x v^{2}) + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.1.7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (44 x^{2}) - (- x v^{2})$ .

$\frac{- (44 x^{2} - x v^{2}) + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.1.7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $6 v^{2}$ .

$\frac{- (44 x^{2} - x v^{2}) - (- 6 v^{2})}{v^{2}}$

Étape 6.1.7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (44 x^{2} - x v^{2}) - (- 6 v^{2})$ .

$\frac{- (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})}{v^{2}}$

Étape 6.1.7.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.7.6.1

Réécrivez $- (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})$ comme $- 1 (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})$ .

$\frac{- 1 (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})}{v^{2}}$

Étape 6.1.7.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.1.8

Simplifiez

$\frac{- 44 x^{2} + x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 44 x^{2}$ .

$\frac{- (44 x^{2}) + x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $x v^{2}$ .

$\frac{- (44 x^{2}) - (- x v^{2}) + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (44 x^{2}) - (- x v^{2})$ .

$\frac{- (44 x^{2} - x v^{2}) + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $6 v^{2}$ .

$\frac{- (44 x^{2} - x v^{2}) - (- 6 v^{2})}{v^{2}}$

Étape 6.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (44 x^{2} - x v^{2}) - (- 6 v^{2})$ .

$\frac{- (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})}{v^{2}}$

Étape 6.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.6.1

Réécrivez $- (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})$ comme $- 1 (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})$ .

$\frac{- 1 (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})}{v^{2}}$

Étape 6.2.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.3

Développez $- (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})$ .

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Étape 6.3.1

Inversez $44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2}$ .

$\frac{- (44 x^{2} - x v^{2} - 6 v^{2})}{v^{2}}$

Étape 6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (44 x^{2} - x v^{2}) - (- 6 v^{2})}{v^{2}}$

Étape 6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (44 x^{2}) - (- x v^{2}) - (- 6 v^{2})}{v^{2}}$

Étape 6.3.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- 1 \cdot (44 x^{2}) - (- x v^{2}) - (- 6 v^{2})}{v^{2}}$

Étape 6.3.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- 1 \cdot (44 x^{2}) + x v^{2} - (- 6 v^{2})}{v^{2}}$

Étape 6.3.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{- 1 \cdot (44 x^{2}) + 1 x v^{2} - (- 6 v^{2})}{v^{2}}$

Étape 6.3.7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- 1 \cdot (44 x^{2}) + 1 x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.3.8

Multipliez $- 1$ par $44$ .

$\frac{- 44 x^{2} + 1 x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.3.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 44 x^{2} + 1 x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.3.10

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{- 44 x^{2} + x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.3.11

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$\frac{- 44 x^{2} + x v^{2} + 6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.3.12

Déplacez $x v^{2}$ .

$\frac{- 44 x^{2} + 6 v^{2} + x v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.3.13

Remettez dans l’ordre $- 44 x^{2}$ et $6 v^{2}$ .

$\frac{6 v^{2} - 44 x^{2} + x v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.4

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$v^{2}$

$44 x^{2}$

$v^{2} x$

$6 v^{2}$

Étape 6.5

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 44 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $v^{2}$ .

		-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$
	$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$

Étape 6.6

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

	-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$
$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$
	-	$44 x^{2}$

Étape 6.7

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 44 x^{2}$

	-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$
$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$
	+	$44 x^{2}$

Étape 6.8

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

	-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$
$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$
	+	$44 x^{2}$
		$0$

Étape 6.9

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

	-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$
$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$
	+	$44 x^{2}$
		$0$	+	$v^{2} x$

Étape 6.10

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $v^{2} x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $v^{2}$ .

	-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$	+	$x$
$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$
	+	$44 x^{2}$
		$0$	+	$v^{2} x$

Étape 6.11

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

	-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$	+	$x$
$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$
	+	$44 x^{2}$
		$0$	+	$v^{2} x$
			+	$x v^{2}$

Étape 6.12

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x v^{2}$

	-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$	+	$x$
$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$
	+	$44 x^{2}$
		$0$	+	$v^{2} x$
			-	$x v^{2}$

Étape 6.13

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

	-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$	+	$x$
$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$
	+	$44 x^{2}$
		$0$	+	$v^{2} x$
			-	$x v^{2}$
				$0$

Étape 6.14

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

	-	$\frac{44 x^{2}}{v^{2}}$	+	$x$
$v^{2}$	-	$44 x^{2}$	+	$v^{2} x$	+	$6 v^{2}$
	+	$44 x^{2}$
		$0$	+	$v^{2} x$
			-	$x v^{2}$
				$0$	+	$6 v^{2}$

Étape 6.15

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- \frac{44 x^{2}}{v^{2}} + x + \frac{6 v^{2}}{v^{2}}$

Étape 6.16

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = - \frac{44 x^{2}}{v^{2}} + x$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = - \frac{44 x^{2}}{v^{2}} + x$

Étape 8