Algèbre Exemples

$(\frac{1}{y} + \frac{2}{x - y}) \cdot (x - \frac{x^{2} + y^{2}}{x + y})$

Étape 1

Pour écrire $\frac{1}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - y}{x - y}$ .

$(\frac{1}{y} \cdot \frac{x - y}{x - y} + \frac{2}{x - y}) \cdot (x - \frac{x^{2} + y^{2}}{x + y})$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2}{x - y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$(\frac{1}{y} \cdot \frac{x - y}{x - y} + \frac{2}{x - y} \cdot \frac{y}{y}) \cdot (x - \frac{x^{2} + y^{2}}{x + y})$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (x - y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{x - y}{x - y}$ .

$(\frac{x - y}{y (x - y)} + \frac{2}{x - y} \cdot \frac{y}{y}) \cdot (x - \frac{x^{2} + y^{2}}{x + y})$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{2}{x - y}$ par $\frac{y}{y}$ .

$(\frac{x - y}{y (x - y)} + \frac{2 y}{(x - y) y}) \cdot (x - \frac{x^{2} + y^{2}}{x + y})$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - y) y$ .

$(\frac{x - y}{y (x - y)} + \frac{2 y}{y (x - y)}) \cdot (x - \frac{x^{2} + y^{2}}{x + y})$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - y + 2 y}{y (x - y)} \cdot (x - \frac{x^{2} + y^{2}}{x + y})$

Étape 5

Additionnez $- y$ et $2 y$ .

$\frac{x + y}{y (x - y)} \cdot (x - \frac{x^{2} + y^{2}}{x + y})$

Étape 6

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{x + y}{y (x - y)} \cdot (\frac{x (x + y)}{x + y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x + y})$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + y}{y (x - y)} \cdot \frac{x (x + y) - (x^{2} + y^{2})}{x + y}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + y}{y (x - y)} \cdot \frac{x \cdot x + x y - (x^{2} + y^{2})}{x + y}$

Étape 8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x + y}{y (x - y)} \cdot \frac{x^{2} + x y - (x^{2} + y^{2})}{x + y}$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + y}{y (x - y)} \cdot \frac{x^{2} + x y - x^{2} - y^{2}}{x + y}$

Étape 8.4

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{x + y}{y (x - y)} \cdot \frac{x y + 0 - y^{2}}{x + y}$

Étape 8.5

Additionnez $x y$ et $0$ .

$\frac{x + y}{y (x - y)} \cdot \frac{x y - y^{2}}{x + y}$

Étape 8.6

Factorisez $y$ à partir de $x y - y^{2}$ .

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Étape 8.6.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{x + y}{y (x - y)} \cdot \frac{y x - y^{2}}{x + y}$

Étape 8.6.2

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{x + y}{y (x - y)} \cdot \frac{y x + y (- y)}{x + y}$

Étape 8.6.3

Factorisez $y$ à partir de $y x + y (- y)$ .

$\frac{x + y}{y (x - y)} \cdot \frac{y (x - y)}{x + y}$

Étape 9

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $x + y$ .

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + y}{y (x - y)} \cdot \frac{y (x - y)}{x + y}$

Étape 9.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y (x - y)} \cdot (y (x - y))$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $y (x - y)$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y (x - y)} \cdot (y (x - y))$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$1$