Algèbre Exemples

$f (x) = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$ comme une équation.

$y = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(3 y)}^{- \frac{5}{2}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${(3 y)}^{- \frac{5}{2}} = x$ .

${(3 y)}^{- \frac{5}{2}} = x$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $- \frac{2}{5}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(3 y)}^{- \frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{5}} = x^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez ${({(3 y)}^{- \frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{5}}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 y)}^{- \frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{5}}$ .

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Étape 3.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y)}^{- \frac{5}{2} (- \frac{2}{5})} = x^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.1.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{2}$ dans le numérateur.

${(3 y)}^{\frac{- 5}{2} (- \frac{2}{5})} = x^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.3.1.1.1.2.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{5}$ dans le numérateur.

${(3 y)}^{\frac{- 5}{2} \cdot \frac{- 2}{5}} = x^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.3.1.1.1.2.3

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

${(3 y)}^{\frac{5 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2}{5}} = x^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.3.1.1.1.2.4

Annulez le facteur commun.

${(3 y)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2}{5}} = x^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.3.1.1.1.2.5

Réécrivez l’expression.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{2} \cdot - 2} = x^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.1.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

${(3 y)}^{\frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))} = x^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.3.1.1.1.3.2

Annulez le facteur commun.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} = x^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.3.1.1.1.3.3

Réécrivez l’expression.

${(3 y)}^{- - 1} = x^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.3.1.1.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${(3 y)}^{1} = x^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.3.1.1.2

Simplifiez

$3 y = x^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $3 y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}}{3}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}}{3}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}}{3}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.4.3.2

Associez.

$y = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{2}{5}} \cdot 3}$

Étape 3.4.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.3.3.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}} \cdot 3}$

Étape 3.4.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{2}{5}}$ .

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$ est l’inverse de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {({(3 x)}^{- \frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 x)}^{- \frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{- \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}}}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{2}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{- 5}{2} \cdot \frac{2}{5}}}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{5 (- 1)}{2} \cdot \frac{2}{5}}}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{2}{5}}}$

Étape 5.2.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{- 1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{- 1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.2.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{- 1}}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 (\frac{1}{3 x})}$

Étape 5.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3 x}$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{\frac{3}{3 x}}$

Étape 5.2.4.2

Réduisez l’expression $\frac{3}{3 x}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{\frac{3}{3 x}}$

Étape 5.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Étape 5.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = 1 x$

Étape 5.2.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = {(3 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}))}^{- \frac{5}{2}}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = {(3 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}))}^{- \frac{5}{2}}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = {(\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}})}^{- \frac{5}{2}}$

Étape 5.3.4

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = {(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 5.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}$

Étape 5.3.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}$

Étape 5.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Étape 5.3.5.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Étape 5.3.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$ est l’inverse de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$