Algèbre Exemples

$3^{\frac{1}{3}}$ , $3^{\frac{2}{3}}$ , $3^{1}$ , $3^{\frac{4}{3}}$

Étape 1

Évaluez l’exposant.

$3^{\frac{1}{3}}, 3^{\frac{2}{3}}, 3, 3^{\frac{4}{3}}$

Étape 2

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $3^{\frac{1}{3}}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = 3^{\frac{1}{3}}$

Étape 3

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 4

Remplacez les valeurs de $a_{1} = 3^{\frac{1}{3}}$ et $r = 3^{\frac{1}{3}}$ .

$a_{n} = 3^{\frac{1}{3}} {(3^{\frac{1}{3}})}^{n - 1}$

Étape 5

Multipliez les exposants dans ${(3^{\frac{1}{3}})}^{n - 1}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a_{n} = 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3} (n - 1)}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$a_{n} = 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3} n + \frac{1}{3} \cdot - 1}$

Étape 5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $n$ .

$a_{n} = 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{n}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1}$

Étape 5.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$a_{n} = 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{n}{3} + \frac{- 1}{3}}$

Étape 5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$a_{n} = 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{n}{3} - \frac{1}{3}}$

Étape 6

Multipliez $3^{\frac{1}{3}}$ par $3^{\frac{n}{3} - \frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a_{n} = 3^{\frac{1}{3} + \frac{n}{3} - \frac{1}{3}}$

Étape 6.2

Associez les termes opposés dans $\frac{1}{3} + \frac{n}{3} - \frac{1}{3}$ .

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Étape 6.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a_{n} = 3^{\frac{n}{3} + \frac{1 - 1}{3}}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a_{n} = 3^{\frac{n}{3} + \frac{0}{3}}$

Étape 6.2.3

Divisez $0$ par $3$ .

$a_{n} = 3^{\frac{n}{3} + 0}$

Étape 6.2.4

Additionnez $\frac{n}{3}$ et $0$ .

$a_{n} = 3^{\frac{n}{3}}$