Algèbre Exemples

$b^{3} + \frac{1}{27} a^{3}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{27} a^{3}$ comme ${(\frac{1}{3} a)}^{3}$ .

$b^{3} + {(\frac{1}{3} a)}^{3}$

Étape 2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = b$ et $b = \frac{1}{3} a$ .

$(b + \frac{1}{3} a) (b^{2} - b (\frac{1}{3} a) + {(\frac{1}{3} a)}^{2})$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $a$ .

$(b + \frac{a}{3}) (b^{2} - b (\frac{1}{3} a) + {(\frac{1}{3} a)}^{2})$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(b + \frac{a}{3}) (b^{2} - 1 \cdot \frac{1}{3} b a + {(\frac{1}{3} a)}^{2})$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $\frac{1}{3}$ .

$(b + \frac{a}{3}) (b^{2} - 1 (\frac{1}{3}) b a + {(\frac{1}{3} a)}^{2})$

Étape 3.4

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{3})$ comme $- (\frac{1}{3})$ .

$(b + \frac{a}{3}) (b^{2} - (\frac{1}{3}) b a + {(\frac{1}{3} a)}^{2})$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $\frac{1}{3}$ .

$(b + \frac{a}{3}) (b^{2} - \frac{1}{3} b a + {(\frac{1}{3} a)}^{2})$

Étape 3.6

Associez $b$ et $\frac{1}{3}$ .

$(b + \frac{a}{3}) (b^{2} - \frac{b}{3} a + {(\frac{1}{3} a)}^{2})$

Étape 3.7

Associez $a$ et $\frac{b}{3}$ .

$(b + \frac{a}{3}) (b^{2} - \frac{a b}{3} + {(\frac{1}{3} a)}^{2})$

Étape 3.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $a$ .

$(b + \frac{a}{3}) (b^{2} - \frac{a b}{3} + {(\frac{a}{3})}^{2})$

Étape 3.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{a}{3}$ .

$(b + \frac{a}{3}) (b^{2} - \frac{a b}{3} + \frac{a^{2}}{3^{2}})$

Étape 3.10

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(b + \frac{a}{3}) (b^{2} - \frac{a b}{3} + \frac{a^{2}}{9})$

Étape 3.11

Factorisez.

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Étape 3.11.1

Factorisez $\frac{1}{9}$ dans chaque terme.

$(b + \frac{a}{3}) (\frac{1}{9} (9 b^{2} - 3 a b + a^{2}))$

Étape 3.11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(b + \frac{a}{3}) \frac{1}{9} (9 b^{2} - 3 a b + a^{2})$