Algèbre Exemples

$2 \ln (x) - \ln (3 - x) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $3$ et $- x$ .

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot 8)$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot (2 (4)))$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4))$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (4)$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) - \ln (4) = 0$

Étape 4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1

Simplifiez $2 \ln (x) - \ln (- x + 3) - \ln (4)$ .

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Étape 4.1.1

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (x^{2}) - \ln (- x + 3) - \ln (4) = 0$

Étape 4.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{- x + 3}) - \ln (4) = 0$

Étape 4.1.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2}}{- x + 3}}{4}) = 0$

Étape 4.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (\frac{x^{2}}{- x + 3} \cdot \frac{1}{4}) = 0$

Étape 4.1.5

Multipliez $\frac{x^{2}}{- x + 3}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{(- x + 3) \cdot 4}) = 0$

Étape 4.1.6

Déplacez $4$ à gauche de $- x + 3$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}) = 0$

Étape 5

Réécrivez $\ln (\frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}$

Étape 6

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x^{2} = e^{0} (4 (- x + 3))$

Étape 7

Simplifiez $e^{0} (4 (- x + 3))$ .

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Étape 7.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{2} = 1 (4 (- x + 3))$

Étape 7.1.2

Multipliez $4 (- x + 3)$ par $1$ .

$x^{2} = 4 (- x + 3)$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = 4 (- x) + 4 \cdot 3$

Étape 7.3

Multipliez.

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Étape 7.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$x^{2} = - 4 x + 4 \cdot 3$

Étape 7.3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$x^{2} = - 4 x + 12$

Étape 8

Ajoutez $4 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 4 x = 12$

Étape 9

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 4 x$ .

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Étape 9.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x + 4 x = 12$

Étape 9.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 4 = 12$

Étape 9.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$x (x + 4) = 12$

Étape 10

Simplifiez $x (x + 4)$ .

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 4 = 12$

Étape 10.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 4 = 12$

Étape 10.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 4 x = 12$

Étape 11

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 4 x - 12 = 0$

Étape 12

Factorisez $x^{2} + 4 x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 12.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $4$ .

$- 2, 6$

Étape 12.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x + 6) = 0$

Étape 13

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 14

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 14.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 15

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 15.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 15.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 16

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = 2, - 6$

Étape 17

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \ln (x) - \ln (3 - x) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$ vrai.

$x = 2$