Algèbre Exemples

$f (x) = {(5 x)}^{\frac{4}{3}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(5 x)}^{\frac{4}{3}}$ comme une équation.

$y = {(5 x)}^{\frac{4}{3}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(5 y)}^{\frac{4}{3}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${(5 y)}^{\frac{4}{3}} = x$ .

${(5 y)}^{\frac{4}{3}} = x$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{4}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(5 y)}^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} = \pm x^{\frac{3}{4}}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${({(5 y)}^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 3.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(5 y)}^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 y)}^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \pm x^{\frac{3}{4}}$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(5 y)}^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \pm x^{\frac{3}{4}}$

Étape 3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(5 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{4}}$

Étape 3.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

${(5 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{4}}$

Étape 3.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

${(5 y)}^{1} = \pm x^{\frac{3}{4}}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez

$5 y = \pm x^{\frac{3}{4}}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$5 y = x^{\frac{3}{4}}$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $5 y = x^{\frac{3}{4}}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $5 y = x^{\frac{3}{4}}$ par $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y}{5} = \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}$

Étape 3.4.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$5 y = - x^{\frac{3}{4}}$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $5 y = - x^{\frac{3}{4}}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $5 y = - x^{\frac{3}{4}}$ par $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{- x^{\frac{3}{4}}}{5}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y}{5} = \frac{- x^{\frac{3}{4}}}{5}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- x^{\frac{3}{4}}}{5}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}$

Étape 3.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}$

$y = - \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}$

$y = \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}$

$y = - \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}$

$y = \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}$

$y = - \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}, - \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}, - \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}$ est l’inverse de $f (x) = {(5 x)}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = {(5 x)}^{\frac{4}{3}}$ et $f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}, - \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = {(5 x)}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{\sqrt[4]{x^{3}}}{5}$

Étape 5.3.2

Définissez le radicande dans $\sqrt[4]{x^{3}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{3} \geq 0$

Étape 5.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.3.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Étape 5.3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 5.3.3.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.3.3.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \geq 0$

Étape 5.3.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = {(5 x)}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 5.4.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\sqrt[3]{{(5 x)}^{4}}$

Étape 5.4.2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}, - \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}$ se trouve sur la plage de $f (x) = {(5 x)}^{\frac{4}{3}}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}, - \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}$ est le domaine de $f (x) = {(5 x)}^{\frac{4}{3}}$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}, - \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}$ est l’inverse de $f (x) = {(5 x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}, - \frac{x^{\frac{3}{4}}}{5}$

Étape 6