Algèbre Exemples

${(\frac{4}{9})}^{x} {(\frac{27}{8})}^{x - 1} = (\frac{2}{3})$

Étape 1

Réécrivez $\frac{4}{9}$ comme ${(\frac{2}{3})}^{2}$ .

${({(\frac{2}{3})}^{2})}^{x} {(\frac{27}{8})}^{x - 1} = \frac{2}{3}$

Étape 2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2}{3})}^{2 x} {(\frac{27}{8})}^{x - 1} = \frac{2}{3}$

Étape 3

Réécrivez $\frac{27}{8}$ comme ${(\frac{8}{27})}^{- 1}$ .

${(\frac{2}{3})}^{2 x} {({(\frac{8}{27})}^{- 1})}^{x - 1} = \frac{2}{3}$

Étape 4

Réécrivez $\frac{8}{27}$ comme ${(\frac{2}{3})}^{3}$ .

${(\frac{2}{3})}^{2 x} {({({(\frac{2}{3})}^{3})}^{- 1})}^{x - 1} = \frac{2}{3}$

Étape 5

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2}{3})}^{2 x} {({(\frac{2}{3})}^{3 \cdot - 1})}^{x - 1} = \frac{2}{3}$

Étape 6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

${(\frac{2}{3})}^{2 x} {({(\frac{2}{3})}^{- 3})}^{x - 1} = \frac{2}{3}$

Étape 7

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{2}{3})}^{- 3})}^{x - 1}$ .

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Étape 7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2}{3})}^{2 x} {(\frac{2}{3})}^{- 3 (x - 1)} = \frac{2}{3}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

${(\frac{2}{3})}^{2 x} {(\frac{2}{3})}^{- 3 x - 3 \cdot - 1} = \frac{2}{3}$

Étape 7.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

${(\frac{2}{3})}^{2 x} {(\frac{2}{3})}^{- 3 x + 3} = \frac{2}{3}$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{2}{3})}^{2 x - 3 x + 3} = \frac{2}{3}$

Étape 9

Soustrayez $3 x$ de $2 x$ .

${(\frac{2}{3})}^{- x + 3} = \frac{2}{3}$

Étape 10

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

${(\frac{2}{3})}^{- x + 3} = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Étape 11

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$- x + 3 = 1$

Étape 12

Résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = 1 - 3$

Étape 12.1.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- x = - 2$

Étape 12.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 12.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 12.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 12.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 12.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$