Algèbre Exemples

$(x^{3} + x^{2} - x - 1) \div (x^{2} + 2 x + 1)$

Étape 1

Réécrivez la division comme une fraction.

$\frac{x^{3} + x^{2} - x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(x^{3} + x^{2}) - x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x^{2} (x + 1) - (x + 1)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Étape 2.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - 1)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Étape 2.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - 1^{2})}{x^{2} + 2 x + 1}$

Étape 2.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Étape 2.5

Associez les exposants.

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Étape 2.5.1

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{1} (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Étape 2.5.2

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1} (x - 1)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Étape 2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Étape 2.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Étape 3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Étape 3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 3.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Divisez $x - 1$ par $1$ .

$x - 1$