Algèbre Exemples

${(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} i)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Associez $\frac{\sqrt{5}}{2}$ et $i$ .

${(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2})}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2})}^{2}$ comme $(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2}) (\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$ .

$(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2}) (\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$

Étape 2

Développez $(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2}) (\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5}{4} (\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2}) + \frac{\sqrt{5} i}{2} (\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} (\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{25}{4 \cdot 4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Étape 3.1.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5}{4} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Étape 3.1.2

Multipliez $\frac{5}{4} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$ .

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{\sqrt{5} i}{2}$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 (\sqrt{5} i)}{4 \cdot 2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 (\sqrt{5} i)}{8} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Étape 3.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{5}{4}$ .

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5} i}{2}$ par $\frac{5}{4}$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{\sqrt{5} i \cdot 5}{2 \cdot 4} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{\sqrt{5} i \cdot 5}{8} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Étape 3.1.4

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{5} i$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Étape 3.1.5

Multipliez $\frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$ .

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5} i}{2}$ par $\frac{\sqrt{5} i}{2}$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{\sqrt{5} i (\sqrt{5} i)}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.5.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} i i}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.5.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} i i}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{\sqrt{5}}^{1 + 1} i i}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} i i}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.5.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} (i^{1} i)}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.5.7

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} (i^{1} i^{1})}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.5.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} i^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.5.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} i^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.5.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} i^{2}}{4}$

Étape 3.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.6.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.1.6.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{4}$

Étape 3.1.6.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{4}$

Étape 3.1.6.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4}$

Étape 3.1.6.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.6.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4}$

Étape 3.1.6.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5^{1} i^{2}}{4}$

Étape 3.1.6.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 i^{2}}{4}$

Étape 3.1.6.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \cdot - 1}{4}$

Étape 3.1.7

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{- 5}{4}$

Étape 3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} - \frac{5}{4}$

Étape 3.2

Pour écrire $- \frac{5}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8}$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8}$

Étape 3.3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 \cdot 4}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{25 - 5 \cdot 4}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$\frac{25 - 20}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8}$

Étape 3.5.2

Soustrayez $20$ de $25$ .

$\frac{5}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8}$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{16} + \frac{10 \sqrt{5} i}{8}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $10$ et $8$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $10 \sqrt{5} i$ .

$\frac{5}{16} + \frac{2 (5 \sqrt{5} i)}{8}$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{5}{16} + \frac{2 (5 \sqrt{5} i)}{2 (4)}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{16} + \frac{2 (5 \sqrt{5} i)}{2 \cdot 4}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{4}$