Algèbre Exemples

$x^{5} - x$ , $x^{5} - x^{2}$ , $x^{5} - x^{3}$

Étape 1

Factorisez $x^{5} - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 1$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x \cdot - 1$ .

$x (x^{4} - 1)$

Étape 1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 1)$

Étape 1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 1^{2})$

Étape 1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 1$ .

$x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1))$

Étape 1.5

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))$

Étape 1.5.1.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$x ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)))$

Étape 1.5.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))$

Étape 1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$

Étape 2

Factorisez $x^{5} - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5} - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5}$ .

$x^{2} x^{3} - x^{2}$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot - 1$

Étape 2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{3} - 1)$

Étape 2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x^{2} (x^{3} - 1^{3})$

Étape 2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))$

Étape 2.4

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))$

Étape 2.4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Étape 2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)$

Étape 3

Factorisez $x^{5} - x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5} - x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5}$ .

$x^{3} x^{2} - x^{3}$

Étape 3.1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 1$

Étape 3.1.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 1$ .

$x^{3} (x^{2} - 1)$

Étape 3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{3} (x^{2} - 1^{2})$

Étape 3.3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$x^{3} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{3} (x + 1) (x - 1)$

Étape 4

Comme $x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1), x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1), x^{3} (x + 1) (x - 1)$ contiennent des nombres et des variables, quatre étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour les parties numériques, variables et variables composées. Ensuite, multipliez toutes les valeurs entre elles.

Les étapes pour déterminer le plus petit multiple commun pour $x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1), x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1), x^{3} (x + 1) (x - 1)$ sont :

1. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1$ .

2. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{1}, x^{2}, x^{3}$ .

3. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable composée $x^{2} + 1, x + 1, x - 1, x - 1, x^{2} + x + 1, x + 1, x - 1$ .

4. Multipliez tous les plus petits multiples communs entre eux.

Étape 5

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 6

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 7

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 8

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 9

Les facteurs pour $x^{2}$ sont $x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $2$ fois.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ se produit $2$ fois.

Étape 10

Les facteurs pour $x^{3}$ sont $x \cdot x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $3$ fois.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ se produit $3$ fois.

Étape 11

Le plus petit multiple commun de $x^{1}, x^{2}, x^{3}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x \cdot x$

Étape 12

Simplifiez $x \cdot x \cdot x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Étape 12.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Étape 12.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 1}$

Étape 12.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{3}$

Étape 13

Le facteur pour $x^{2} + 1$ est $x^{2} + 1$ lui-même.

$(x^{2} + 1) = x^{2} + 1$

$(x^{2} + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 14

Le facteur pour $x + 1$ est $x + 1$ lui-même.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 15

Le facteur pour $x - 1$ est $x - 1$ lui-même.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 16

Le facteur pour $x^{2} + x + 1$ est $x^{2} + x + 1$ lui-même.

$(x^{2} + x + 1) = x^{2} + x + 1$

$(x^{2} + x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 17

Le facteur pour $x + 1$ est $x + 1$ lui-même.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 18

Le facteur pour $x - 1$ est $x - 1$ lui-même.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 19

Le plus petit multiple commun de $x^{2} + 1, x + 1, x - 1, x - 1, x^{2} + x + 1, x + 1, x - 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)$

Étape 20

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$x^{3} (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)$