Algèbre Exemples

$2^{x} = 2^{2 x} - 12$

Étape 1

Soustrayez $2^{2 x}$ des deux côtés de l’équation.

$2^{x} - 2^{2 x} = - 12$

Étape 2

Réécrivez $2^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

$2^{x} - {(2^{x})}^{2} = - 12$

Étape 3

Remplacez $2^{x}$ par $u$ .

$u - u^{2} = - 12$

Étape 4

Remettez dans l’ordre $u$ et $- u^{2}$ .

$- u^{2} + u = - 12$

Étape 5

Résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$- u^{2} + u + 12 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} + u + 12$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + u + 12 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $u$ .

$- (u^{2}) - 1 (- u) + 12 = 0$

Étape 5.2.1.3

Réécrivez $12$ comme $- 1 (- 12)$ .

$- (u^{2}) - 1 (- u) - 1 \cdot - 12 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2}) - 1 (- u)$ .

$- (u^{2} - u) - 1 \cdot - 12 = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2} - u) - 1 (- 12)$ .

$- (u^{2} - u - 12) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $u^{2} - u - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 5.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((u - 4) (u + 3)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (u - 4) (u + 3) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 3 = 0$

Étape 5.4

Définissez $u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

Étape 5.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

Étape 5.5

Définissez $u + 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $u + 3$ égal à $0$ .

$u + 3 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 3$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (u - 4) (u + 3) = 0$ vraie.

$u = 4, - 3$

Étape 6

Remplacez $u$ par $4$ dans $u = 2^{x}$ .

$4 = 2^{x}$

Étape 7

Résolvez $4 = 2^{x}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $2^{x} = 4$ .

$2^{x} = 4$

Étape 7.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$2^{x} = 2^{2}$

Étape 7.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 2$

Étape 8

Remplacez $u$ par $- 3$ dans $u = 2^{x}$ .

$- 3 = 2^{x}$

Étape 9

Résolvez $- 3 = 2^{x}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $2^{x} = - 3$ .

$2^{x} = - 3$

Étape 9.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 3)$

Étape 9.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 3)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 9.4

Il n’y a pas de solution pour $2^{x} = - 3$

Aucune solution

Étape 10

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = 2$