Algèbre Exemples

$4 x^{\frac{6}{5}} - 16 x^{\frac{4}{5}} = 0$

Étape 1

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{4}{5}}$ présent dans chaque terme.

$4 {(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{3}{2}} - 16 x^{\frac{4}{5}}$

Étape 2

Remplacez $x^{\frac{4}{5}}$ par $u$ .

$4 {(u)}^{\frac{3}{2}} - 16 u = 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Factorisez $4 u$ à partir de $4 u^{\frac{3}{2}} - 16 u$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $4 u$ à partir de $4 u^{\frac{3}{2}}$ .

$4 u (u^{\frac{1}{2}}) - 16 u = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $4 u$ à partir de $- 16 u$ .

$4 u (u^{\frac{1}{2}}) + 4 u (- 4) = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $4 u$ à partir de $4 u (u^{\frac{1}{2}}) + 4 u (- 4)$ .

$4 u (u^{\frac{1}{2}} - 4) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$

Étape 3.3

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 3.4

Définissez $u^{\frac{1}{2}} - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $u^{\frac{1}{2}} - 4$ égal à $0$ .

$u^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $u^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$ pour $u$ .

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Étape 3.4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{\frac{1}{2}} = 4$

Étape 3.4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(u^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.3.1.1

Simplifiez ${(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Étape 3.4.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Étape 3.4.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{1} = 4^{2}$

Étape 3.4.2.3.1.1.2

Simplifiez

$u = 4^{2}$

Étape 3.4.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$u = 16$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 u (u^{\frac{1}{2}} - 4) = 0$ vraie.

$u = 0, 16$

Étape 4

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{\frac{4}{5}} = 0, 16$

Étape 5

Résolvez $x^{\frac{4}{5}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{5}{4}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Étape 5.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Étape 5.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Étape 5.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Étape 5.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez

$x = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $\pm 0^{\frac{5}{4}}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm {(0^{4})}^{\frac{5}{4}}$

Étape 5.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 0^{4 (\frac{5}{4})}$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm 0^{4 (\frac{5}{4})}$

Étape 5.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm 0^{5}$

Étape 5.2.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = \pm 0$

Étape 5.2.2.1.4

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Résolvez $x^{\frac{4}{5}} = 16$ pour $x$ .

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Étape 6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{5}{4}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}} = \pm 16^{\frac{5}{4}}$

Étape 6.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ .

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Étape 6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 16^{\frac{5}{4}}$

Étape 6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 16^{\frac{5}{4}}$

Étape 6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 16^{\frac{5}{4}}$

Étape 6.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 16^{\frac{5}{4}}$

Étape 6.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = \pm 16^{\frac{5}{4}}$

Étape 6.2.1.1.2

Simplifiez

$x = \pm 16^{\frac{5}{4}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $\pm 16^{\frac{5}{4}}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$x = \pm {(2^{4})}^{\frac{5}{4}}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{4 (\frac{5}{4})}$

Étape 6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm 2^{4 (\frac{5}{4})}$

Étape 6.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm 2^{5}$

Étape 6.2.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$x = \pm 32$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 32$

Étape 6.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 32$

Étape 6.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 32, - 32$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0, 32, - 32$