Algèbre Exemples

$2 {(x^{2} - 12 x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 3 = 15$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 {(x^{2} - 12 x - 4)}^{\frac{1}{2}} = 15 + 3$

Étape 1.2

Additionnez $15$ et $3$ .

$2 {(x^{2} - 12 x - 4)}^{\frac{1}{2}} = 18$

Étape 2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(2 {(x^{2} - 12 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 18^{2}$

Étape 3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez ${(2 {(x^{2} - 12 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(x^{2} - 12 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x^{2} - 12 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 18^{2}$

Étape 3.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x^{2} - 12 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 18^{2}$

Étape 3.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 12 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x^{2} - 12 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 18^{2}$

Étape 3.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x^{2} - 12 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 18^{2}$

Étape 3.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x^{2} - 12 x - 4)}^{1} = 18^{2}$

Étape 3.1.1.4

Simplifiez

$4 (x^{2} - 12 x - 4) = 18^{2}$

Étape 3.1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} + 4 (- 12 x) + 4 \cdot - 4 = 18^{2}$

Étape 3.1.1.6

Simplifiez

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Étape 3.1.1.6.1

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$4 x^{2} - 48 x + 4 \cdot - 4 = 18^{2}$

Étape 3.1.1.6.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$4 x^{2} - 48 x - 16 = 18^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Élevez $18$ à la puissance $2$ .

$4 x^{2} - 48 x - 16 = 324$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $324$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 48 x - 16 - 324 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $324$ de $- 16$ .

$4 x^{2} - 48 x - 340 = 0$

Étape 4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 48 x - 340$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 48 x - 340 = 0$

Étape 4.3.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 48 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 12 x) - 340 = 0$

Étape 4.3.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 340$ .

$4 x^{2} + 4 (- 12 x) + 4 \cdot - 85 = 0$

Étape 4.3.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 (- 12 x)$ .

$4 (x^{2} - 12 x) + 4 \cdot - 85 = 0$

Étape 4.3.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} - 12 x) + 4 \cdot - 85$ .

$4 (x^{2} - 12 x - 85) = 0$

Étape 4.3.2

Factorisez.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $x^{2} - 12 x - 85$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 85$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 17, 5$

Étape 4.3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$4 ((x - 17) (x + 5)) = 0$

Étape 4.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 17) (x + 5) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 17 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 4.5

Définissez $x - 17$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $x - 17$ égal à $0$ .

$x - 17 = 0$

Étape 4.5.2

Ajoutez $17$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 17$

Étape 4.6

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 4.6.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x - 17) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 17, - 5$