Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} - i}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} - i}$ par $\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} + i}$ .

$\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} - i} \cdot \frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} + i}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} - i}$ par $\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} + i}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + i) (\sqrt{3} + i)}{(\sqrt{3} - i) (\sqrt{3} + i)}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} + i) (\sqrt{3} + i)}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} i - i \sqrt{3} - i^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{3} + i) (\sqrt{3} + i)}{4}$

Étape 3

Développez $(\sqrt{3} + i) (\sqrt{3} + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} + i) + i (\sqrt{3} + i)}{4}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} i + i (\sqrt{3} + i)}{4}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} + i i}{4}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} + i i}{4}$

Étape 4.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{9} + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} + i i}{4}$

Étape 4.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} + i i}{4}$

Étape 4.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} + i i}{4}$

Étape 4.1.5

Multipliez $i i$ .

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Étape 4.1.5.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} + i^{1} i}{4}$

Étape 4.1.5.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} + i^{1} i^{1}}{4}$

Étape 4.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} + i^{1 + 1}}{4}$

Étape 4.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} + i^{2}}{4}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} - 1}{4}$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} i + i \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{3} i$ .

$\frac{2 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.4

Additionnez $i \sqrt{3}$ et $i \sqrt{3}$ .

$\frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $2 + 2 i \sqrt{3}$ et $4$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 i \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (i \sqrt{3})}{4}$

Étape 5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 + 2 (i \sqrt{3})$ .

$\frac{2 \cdot (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Étape 5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot (1 + i \sqrt{3})}{2 (2)}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot (1 + i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$