Algèbre Exemples

$e^{\ln (x) + 1} = 2$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{\ln (x) + 1}) = \ln (2)$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln (e^{\ln (x) + 1})$ en déplaçant $\ln (x) + 1$ hors du logarithme.

$(\ln (x) + 1) \ln (e) = \ln (2)$

Étape 2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(\ln (x) + 1) \cdot 1 = \ln (2)$

Étape 2.3

Multipliez $\ln (x) + 1$ par $1$ .

$\ln (x) + 1 = \ln (2)$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (x) - \ln (2) = - 1$

Étape 4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = - 1$

Étape 5

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{x}{2})} = e^{- 1}$

Étape 6

Réécrivez $\ln (\frac{x}{2}) = - 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = \frac{x}{2}$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x}{2} = e^{- 1}$ .

$\frac{x}{2} = e^{- 1}$

Étape 7.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- 1}$

Étape 7.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- 1}$

Étape 7.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 e^{- 1}$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.1

Simplifiez $2 e^{- 1}$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 2 \frac{1}{e}$

Étape 7.3.2.1.2

Associez $2$ et $\frac{1}{e}$ .

$x = \frac{2}{e}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{2}{e}$

Forme décimale :

$x = 0.73575888 \dots$