Algèbre Exemples

$x^{2} - 4 y = 12$ $y = - \frac{1}{2} x - 4$

Étape 1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x^{2} - 4 y = 12$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- \frac{x}{2} - 4$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x^{2} - 4 y = 12$ par $- \frac{x}{2} - 4$ .

$x^{2} - 4 (- \frac{x}{2} - 4) = 12$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 4 (- \frac{x}{2}) - 4 \cdot - 4 = 12$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{2}$ dans le numérateur.

$x^{2} - 4 \frac{- x}{2} - 4 \cdot - 4 = 12$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 2.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$x^{2} + 2 (- 2) (\frac{- x}{2}) - 4 \cdot - 4 = 12$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + 2 \cdot (- 2 \frac{- x}{2}) - 4 \cdot - 4 = 12$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 2.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 2 (- x) - 4 \cdot - 4 = 12$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x^{2} - 2 (- x) - 4 \cdot - 4 = 12$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$x^{2} + 2 x - 4 \cdot - 4 = 12$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x^{2} + 2 x + 16 = 12$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x^{2} + 2 x + 16 = 12$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x^{2} + 2 x + 16 = 12$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x^{2} + 2 x + 16 = 12$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3

Résolvez $x$ dans $x^{2} + 2 x + 16 = 12$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x + 16 - 12 = 0$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.1.2

Soustrayez $12$ de $16$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.4.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.4.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.4.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.5.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.5.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.5.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.6.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.6.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.6.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$y = - \frac{x}{2} - 4$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 1 + i \sqrt{3}$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = - \frac{x}{2} - 4$ par $- 1 + i \sqrt{3}$ .

$y = - \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2} - 4$

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $- \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2} - 4$ .

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Étape 4.2.1.1

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}$

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Étape 4.2.1.2

Associez $- 4$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Étape 4.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 7 - i \sqrt{3}}{2}$

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Étape 4.2.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - i \sqrt{3}}{2}$

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Étape 4.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{3}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - (i \sqrt{3})}{2}$

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Étape 4.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - (i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{- 1 (7 + i \sqrt{3})}{2}$

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Étape 4.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{7 + i \sqrt{3}}{2}$

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = - \frac{7 + i \sqrt{3}}{2}$

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = - \frac{7 + i \sqrt{3}}{2}$

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = - \frac{7 + i \sqrt{3}}{2}$

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 1 - i \sqrt{3}$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = - \frac{x}{2} - 4$ par $- 1 - i \sqrt{3}$ .

$y = - \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2} - 4$

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $- \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2} - 4$ .

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Étape 5.2.1.1

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}$

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 5.2.1.2

Associez $- 4$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 5.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 7 + \sqrt{3} i}{2}$

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 5.2.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{3} i}{2}$

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{3} i$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - (- \sqrt{3} i)}{2}$

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 5.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - (- \sqrt{3} i)$ .

$y = \frac{- 1 (7 - \sqrt{3} i)}{2}$

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 5.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{7 - \sqrt{3} i}{2}$

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{3} i}{2}$

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{3} i}{2}$

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{3} i}{2}$

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 6

Indiquez toutes les solutions.

$y = - \frac{7 + i \sqrt{3}}{2}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{3} i}{2}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 7