Algèbre Exemples

$y^{6 a} + 65 y^{3 a} + 64$

Étape 1

Réécrivez $y^{6 a}$ comme ${(y^{3 a})}^{2}$ .

${(y^{3 a})}^{2} + 65 y^{3 a} + 64$

Étape 2

Laissez $u = y^{3 a}$ . Remplacez toutes les occurrences de $y^{3 a}$ par $u$ .

$u^{2} + 65 u + 64$

Étape 3

Factorisez $u^{2} + 65 u + 64$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $64$ et dont la somme est $65$ .

$1, 64$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u + 1) (u + 64)$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{3 a}$ .

$(y^{3 a} + 1) (y^{3 a} + 64)$

Étape 5

Réécrivez $y^{3 a}$ comme ${(y^{a})}^{3}$ .

$({(y^{a})}^{3} + 1) (y^{3 a} + 64)$

Étape 6

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$({(y^{a})}^{3} + 1^{3}) (y^{3 a} + 64)$

Étape 7

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = y^{a}$ et $b = 1$ .

$(y^{a} + 1) ({(y^{a})}^{2} - y^{a} \cdot 1 + 1^{2}) (y^{3 a} + 64)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{a})}^{2}$ .

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Étape 8.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(y^{a} + 1) (y^{a \cdot 2} - y^{a} \cdot 1 + 1^{2}) (y^{3 a} + 64)$

Étape 8.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $a$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} \cdot 1 + 1^{2}) (y^{3 a} + 64)$

Étape 8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1^{2}) (y^{3 a} + 64)$

Étape 8.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) (y^{3 a} + 64)$

Étape 9

Réécrivez $y^{3 a}$ comme ${(y^{a})}^{3}$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ({(y^{a})}^{3} + 64)$

Étape 10

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ({(y^{a})}^{3} + 4^{3})$

Étape 11

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = y^{a}$ et $b = 4$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) ({(y^{a})}^{2} - y^{a} \cdot 4 + 4^{2}))$

Étape 12

Factorisez.

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Étape 12.1

Simplifiez

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Étape 12.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{a})}^{2}$ .

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Étape 12.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) (y^{a \cdot 2} - y^{a} \cdot 4 + 4^{2}))$

Étape 12.1.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $a$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) (y^{2 a} - y^{a} \cdot 4 + 4^{2}))$

Étape 12.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) (y^{2 a} - 4 y^{a} + 4^{2}))$

Étape 12.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) (y^{2 a} - 4 y^{a} + 16))$

Étape 12.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) (y^{a} + 4) (y^{2 a} - 4 y^{a} + 16)$