Algèbre Exemples

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cot^{2} (x)) = 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$1 - \cos^{2} (x) = 0$

$1 + \cot^{2} (x) = 0$

Étape 2

Définissez $1 - \cos^{2} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez $1 - \cos^{2} (x)$ égal à $0$ .

$1 - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2

Résolvez $1 - \cos^{2} (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \cos^{2} (x) = - 1$

Étape 2.2.2

Divisez chaque terme dans $- \cos^{2} (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \cos^{2} (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos^{2} (x) = 1$

Étape 2.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\cos (x) = \pm \sqrt{1}$

Étape 2.2.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (x) = \pm 1$

Étape 2.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = 1$

Étape 2.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - 1$

Étape 2.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = 1, - 1$

Étape 2.2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = 1$

$\cos (x) = - 1$

Étape 2.2.7

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = 1$ .

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Étape 2.2.7.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 2.2.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.7.2.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.7.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 2.2.7.4

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 2.2.7.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 2.2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.2.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.2.7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.2.7.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.2.8

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - 1$ .

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Étape 2.2.8.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 2.2.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.8.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 2.2.8.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 2.2.8.4

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 2.2.8.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 2.2.8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.2.8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.2.8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.2.8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.2.8.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.2.9

Indiquez toutes les solutions.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.2.10

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Définissez $1 + \cot^{2} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $1 + \cot^{2} (x)$ égal à $0$ .

$1 + \cot^{2} (x) = 0$

Étape 3.2

Résolvez $1 + \cot^{2} (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\cot^{2} (x) = - 1$

Étape 3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\cot (x) = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\cot (x) = \pm i$

Étape 3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cot (x) = i$

Étape 3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cot (x) = - i$

Étape 3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cot (x) = i, - i$

Étape 3.2.5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cot (x) = i$

$\cot (x) = - i$

Étape 3.2.6

Résolvez $x$ dans $\cot (x) = i$ .

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Étape 3.2.6.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (i)$

Étape 3.2.6.2

The inverse cotangent of $arccot (i)$ is undefined.

Indéfini

Étape 3.2.7

Résolvez $x$ dans $\cot (x) = - i$ .

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Étape 3.2.7.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (- i)$

Étape 3.2.7.2

The inverse cotangent of $arccot (- i)$ is undefined.

Indéfini

Étape 3.2.8

Indiquez toutes les solutions.

Aucune solution

Étape 4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cot^{2} (x)) = 0$ vraie.

$x = π n$ , pour tout entier $n$