Algèbre Exemples

$\frac{\csc (x) - 1}{\sin (x) - 1}$

Étape 1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\sin (x) - 1}$

Étape 2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $\sin (x)$ .

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\sin (x) - 1}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\sin (x) - 1}$

Étape 2.2

Associez.

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}{\sin (x) (\sin (x) - 1)}$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot - 1}{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot - 1}{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + \sin (x) \cdot - 1}{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin (x)$ .

$\frac{1 - 1 \cdot \sin (x)}{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1}$

Étape 5.2

Réécrivez $- 1 \sin (x)$ comme $- \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 6.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1}$

Étape 6.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cdot - 1}$

Étape 6.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - \sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot - 1}$

Étape 6.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1}$

Étape 6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{\sin^{2} (x) - 1 \cdot \sin (x)}$

Étape 6.3

Réécrivez $- 1 \sin (x)$ comme $- \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{\sin^{2} (x) - \sin (x)}$

Étape 6.4

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x) - \sin (x)$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{\sin (x) \sin (x) - \sin (x)}$

Étape 6.4.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1}$

Étape 6.4.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{\sin (x) (\sin (x) - 1)}$

Étape 7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun à $1 - \sin (x)$ et $\sin (x) - 1$ .

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Étape 7.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1) - \sin (x)}{\sin (x) (\sin (x) - 1)}$

Étape 7.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\frac{- 1 (- 1) - (\sin (x))}{\sin (x) (\sin (x) - 1)}$

Étape 7.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 1) - (\sin (x))$ .

$\frac{- 1 (- 1 + \sin (x))}{\sin (x) (\sin (x) - 1)}$

Étape 7.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (- 1 + \sin (x))}{\sin (x) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 7.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- 1 + \sin (x))}{\sin (x) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 7.1.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 8

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$- \csc (x)$