Algèbre Exemples

$25^{7 p - 2} \cdot 625^{3 - 2 p} = 1$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (25^{7 p - 2} \cdot 625^{3 - 2 p}) = \ln (1)$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (25^{7 p - 2} \cdot 625^{3 - 2 p})$ comme $\ln (25^{7 p - 2}) + \ln (625^{3 - 2 p})$ .

$\ln (25^{7 p - 2}) + \ln (625^{3 - 2 p}) = \ln (1)$

Étape 2.2

Développez $\ln (25^{7 p - 2})$ en déplaçant $7 p - 2$ hors du logarithme.

$(7 p - 2) \ln (25) + \ln (625^{3 - 2 p}) = \ln (1)$

Étape 2.3

Développez $\ln (625^{3 - 2 p})$ en déplaçant $3 - 2 p$ hors du logarithme.

$(7 p - 2) \ln (25) + (3 - 2 p) \ln (625) = \ln (1)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 p \ln (25) - 2 \ln (25) + (3 - 2 p) \ln (625) = \ln (1)$

Étape 3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$7 p \ln (25) - 2 \ln (25) + 3 \ln (625) - 2 p \ln (625) = \ln (1)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$7 p \ln (25) - 2 \ln (25) + 3 \ln (625) - 2 p \ln (625) = 0$

Étape 5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1

Déplacez $3 \ln (625)$ .

$7 p \ln (25) - 2 \ln (25) - 2 p \ln (625) + 3 \ln (625) = 0$

Étape 5.2

Déplacez $- 2 \ln (25)$ .

$7 p \ln (25) - 2 p \ln (625) - 2 \ln (25) + 3 \ln (625) = 0$

Étape 6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $p$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1

Ajoutez $2 \ln (25)$ aux deux côtés de l’équation.

$7 p \ln (25) - 2 p \ln (625) + 3 \ln (625) = 2 \ln (25)$

Étape 6.2

Soustrayez $3 \ln (625)$ des deux côtés de l’équation.

$7 p \ln (25) - 2 p \ln (625) = 2 \ln (25) - 3 \ln (625)$

Étape 7

Factorisez $p$ à partir de $7 p \ln (25) - 2 p \ln (625)$ .

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Étape 7.1

Factorisez $p$ à partir de $7 p \ln (25)$ .

$p (7 \ln (25)) - 2 p \ln (625) = 2 \ln (25) - 3 \ln (625)$

Étape 7.2

Factorisez $p$ à partir de $- 2 p \ln (625)$ .

$p (7 \ln (25)) + p (- 2 \ln (625)) = 2 \ln (25) - 3 \ln (625)$

Étape 7.3

Factorisez $p$ à partir de $p (7 \ln (25)) + p (- 2 \ln (625))$ .

$p (7 \ln (25) - 2 \ln (625)) = 2 \ln (25) - 3 \ln (625)$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $p (7 \ln (25) - 2 \ln (625)) = 2 \ln (25) - 3 \ln (625)$ par $7 \ln (25) - 2 \ln (625)$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $p (7 \ln (25) - 2 \ln (625)) = 2 \ln (25) - 3 \ln (625)$ par $7 \ln (25) - 2 \ln (625)$ .

$\frac{p (7 \ln (25) - 2 \ln (625))}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)} = \frac{2 \ln (25)}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)} + \frac{- 3 \ln (625)}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $7 \ln (25) - 2 \ln (625)$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{p (7 \ln (25) - 2 \ln (625))}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)} = \frac{2 \ln (25)}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)} + \frac{- 3 \ln (625)}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $p$ par $1$ .

$p = \frac{2 \ln (25)}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)} + \frac{- 3 \ln (625)}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p = \frac{2 \ln (25) - 3 \ln (625)}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$p = \frac{2 \ln (25) - 3 \ln (625)}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)}$

Forme décimale :

$p = - 1.\overline{3}$