Algèbre Exemples

$2 x - y^{2} = 4 y + 10$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x - y^{2} - 4 y = 10$

Étape 1.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$2 x - y^{2} - 4 y - 10 = 0$

Étape 1.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.4

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = - 4$ et $c = 2 x - 10$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)$ .

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Étape 1.5.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (2 x - 10))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 - 1 \cdot (2 x - 10)$ .

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Étape 1.5.1.2.1

Remettez dans l’ordre $- 4$ et $- 1 \cdot (2 x - 10)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.2.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2 x - 10) - 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.2.4

Réécrivez $- 1 (2 x - 10 + 4)$ comme $- (2 x - 10 + 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x - 10 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.3

Additionnez $- 10$ et $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x - 6))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 6$ .

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Étape 1.5.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 (x) - 6))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x + 2 \cdot - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 (x - 3)))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 \cdot (2 (x - 3)))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{8 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.7

Réécrivez $8 (x - 3)$ comme $2^{2} \cdot (2 (x - 3))$ .

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Étape 1.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2) (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.7.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{- 2}$

Étape 1.5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (x - 3)}}{- 1}$

Étape 1.5.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 \pm \sqrt{2 (x - 3)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$

Étape 1.5.5

Réécrivez $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$ comme $- (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$ .

$y = - (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$

Étape 1.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)$ .

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Étape 1.6.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (2 x - 10))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 - 1 \cdot (2 x - 10)$ .

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Étape 1.6.1.2.1

Remettez dans l’ordre $- 4$ et $- 1 \cdot (2 x - 10)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.2.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2 x - 10) - 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.2.4

Réécrivez $- 1 (2 x - 10 + 4)$ comme $- (2 x - 10 + 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x - 10 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.3

Additionnez $- 10$ et $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x - 6))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 6$ .

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Étape 1.6.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 (x) - 6))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x + 2 \cdot - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 (x - 3)))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 \cdot (2 (x - 3)))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{8 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.7

Réécrivez $8 (x - 3)$ comme $2^{2} \cdot (2 (x - 3))$ .

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Étape 1.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2) (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.7.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{- 2}$

Étape 1.6.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (x - 3)}}{- 1}$

Étape 1.6.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 \pm \sqrt{2 (x - 3)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$

Étape 1.6.5

Réécrivez $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$ comme $- (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$ .

$y = - (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$

Étape 1.6.6

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - (2 + \sqrt{2 (x - 3)})$

Étape 1.6.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 \cdot 2 - \sqrt{2 (x - 3)}$

Étape 1.6.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 3)}$

Étape 1.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)$ .

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Étape 1.7.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (2 x - 10))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 - 1 \cdot (2 x - 10)$ .

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Étape 1.7.1.2.1

Remettez dans l’ordre $- 4$ et $- 1 \cdot (2 x - 10)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.2.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2 x - 10) - 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.2.4

Réécrivez $- 1 (2 x - 10 + 4)$ comme $- (2 x - 10 + 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x - 10 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.3

Additionnez $- 10$ et $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x - 6))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 6$ .

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Étape 1.7.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 (x) - 6))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x + 2 \cdot - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 (x - 3)))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 \cdot (2 (x - 3)))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{8 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.7

Réécrivez $8 (x - 3)$ comme $2^{2} \cdot (2 (x - 3))$ .

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Étape 1.7.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2) (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.7.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{- 2}$

Étape 1.7.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (x - 3)}}{- 1}$

Étape 1.7.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 \pm \sqrt{2 (x - 3)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$

Étape 1.7.5

Réécrivez $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$ comme $- (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$ .

$y = - (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$

Étape 1.7.6

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - (2 - \sqrt{2 (x - 3)})$

Étape 1.7.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 \cdot 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$

Étape 1.7.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$

Étape 1.7.9

Multipliez $- - \sqrt{2 (x - 3)}$ .

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Étape 1.7.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - 2 + 1 \sqrt{2 (x - 3)}$

Étape 1.7.9.2

Multipliez $\sqrt{2 (x - 3)}$ par $1$ .

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$

Étape 1.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 3)}$

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 3)}$

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$

Étape 2

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 3

La forme normalisée est $- 2 - \sqrt{2 (x - 3)}, - 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$ .

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 3)}$

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$

Étape 4