Algèbre Exemples

$y = e^{\frac{x}{2}}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = e^{\frac{y}{2}}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $e^{\frac{y}{2}} = x$ .

$e^{\frac{y}{2}} = x$

Étape 2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{\frac{y}{2}}) = \ln (x)$

Étape 2.3

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Développez $\ln (e^{\frac{y}{2}})$ en déplaçant $\frac{y}{2}$ hors du logarithme.

$\frac{y}{2} \ln (e) = \ln (x)$

Étape 2.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{y}{2} \cdot 1 = \ln (x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $\frac{y}{2}$ par $1$ .

$\frac{y}{2} = \ln (x)$

Étape 2.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \ln (x)$

Étape 2.5

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y}{2} = 2 \ln (x)$

Étape 2.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 \ln (x)$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$ est l’inverse de $f (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

Étape 4.2.3

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\frac{x}{2}$ de l’exposant.

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Étape 4.2.4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

Étape 4.2.5

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $1$ .

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 4.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 4.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (2 \ln (x))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (2 \ln (x)) = e^{\frac{2 \ln (x)}{2}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (2 \ln (x)) = e^{\frac{2 \ln (x)}{2}}$

Étape 4.3.3.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$f (2 \ln (x)) = e^{\ln (x)}$

Étape 4.3.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (2 \ln (x)) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$ est l’inverse de $f (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$