Algèbre Exemples

$(\frac{x + 5}{x^{2} - 5 x} - \frac{x}{x^{2} - 25}) \cdot \frac{x^{2} - 25}{5}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$(\frac{x + 5}{x^{2} - 5 x} - \frac{x}{x^{2} - 25}) \cdot \frac{x^{2} - 5^{2}}{5}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$(\frac{x + 5}{x^{2} - 5 x} - \frac{x}{x^{2} - 25}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 5 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$(\frac{x + 5}{x \cdot x - 5 x} - \frac{x}{x^{2} - 25}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x$ .

$(\frac{x + 5}{x \cdot x + x \cdot - 5} - \frac{x}{x^{2} - 25}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$(\frac{x + 5}{x (x - 5)} - \frac{x}{x^{2} - 25}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$(\frac{x + 5}{x (x - 5)} - \frac{x}{x^{2} - 5^{2}}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 2.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$(\frac{x + 5}{x (x - 5)} - \frac{x}{(x + 5) (x - 5)}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{x + 5}{x (x - 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$(\frac{x + 5}{x (x - 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{x}{(x + 5) (x - 5)}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 4

Pour écrire $- \frac{x}{(x + 5) (x - 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{x + 5}{x (x - 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x}{x}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (x - 5) (x + 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{x + 5}{x (x - 5)}$ par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$(\frac{(x + 5) (x + 5)}{x (x - 5) (x + 5)} - \frac{x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x}{x}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{x}{(x + 5) (x - 5)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{(x + 5) (x + 5)}{x (x - 5) (x + 5)} - \frac{x \cdot x}{(x + 5) (x - 5) x}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 5.3

Réorganisez les facteurs de $x (x - 5) (x + 5)$ .

$(\frac{(x + 5) (x + 5)}{x (x + 5) (x - 5)} - \frac{x \cdot x}{(x + 5) (x - 5) x}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 5.4

Réorganisez les facteurs de $(x + 5) (x - 5) x$ .

$(\frac{(x + 5) (x + 5)}{x (x + 5) (x - 5)} - \frac{x \cdot x}{x (x + 5) (x - 5)}) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 5) (x + 5) - x \cdot x}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Élevez $x + 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{1} (x + 5) - x \cdot x}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 7.2

Élevez $x + 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1} - x \cdot x}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x + 5)}^{1 + 1} - x \cdot x}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} - x \cdot x}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 7.5

Réécrivez $x \cdot x$ comme $x^{2}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} - x^{2}}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 7.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x + 5$ et $b = x$ .

$\frac{(x + 5 + x) (x + 5 - x)}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 7.7

Simplifiez

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Étape 7.7.1

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{(2 x + 5) (x + 5 - x)}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 7.7.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{(2 x + 5) (0 + 5)}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 7.7.3

Additionnez $0$ et $5$ .

$\frac{(2 x + 5) \cdot 5}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $5$ à partir de $(2 x + 5) \cdot 5$ .

$\frac{5 \cdot (2 x + 5)}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 8.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot (2 x + 5)}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{5}$

Étape 8.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x + 5}{x (x + 5) (x - 5)} \cdot ((x + 5) (x - 5))$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $(x + 5) (x - 5)$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $(x + 5) (x - 5)$ à partir de $x (x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{2 x + 5}{(x + 5) (x - 5) (x)} \cdot ((x + 5) (x - 5))$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x + 5}{(x + 5) (x - 5) x} \cdot ((x + 5) (x - 5))$

Étape 8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x + 5}{x}$