Algèbre Exemples

$\frac{x^{- 2} - y^{- 2}}{x^{- 2} y^{- 2}}$

Étape 1

Placez $x^{- 2}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{(x^{- 2} - y^{- 2}) x^{2}}{y^{- 2}}$

Étape 2

Placez $y^{- 2}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$(x^{- 2} - y^{- 2}) x^{2} y^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x^{2}} - y^{- 2}) x^{2} y^{2}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}) x^{2} y^{2}$

Étape 4

Pour écrire $\frac{1}{x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$(\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}}) x^{2} y^{2}$

Étape 5

Pour écrire $- \frac{1}{y^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$(\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}) x^{2} y^{2}$

Étape 6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x^{2} y^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$(\frac{y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}) x^{2} y^{2}$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{1}{y^{2}}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$(\frac{y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{x^{2}}{y^{2} x^{2}}) x^{2} y^{2}$

Étape 6.3

Réorganisez les facteurs de $y^{2} x^{2}$ .

$(\frac{y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2} y^{2}}) x^{2} y^{2}$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2} y^{2}} x^{2} y^{2}$

Étape 8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = x$ .

$\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{2}} x^{2} y^{2}$

Étape 9

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 9.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} (y^{2})} x^{2} y^{2}$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{2}} x^{2} y^{2}$

Étape 9.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} y^{2}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} y^{2}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$(y + x) (y - x)$

Étape 10

Développez $(y + x) (y - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (y - x) + x (y - x)$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$y \cdot y + y (- x) + x (y - x)$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$y \cdot y + y (- x) + x y + x (- x)$

Étape 11

Simplifiez les termes.

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Étape 11.1

Associez les termes opposés dans $y \cdot y + y (- x) + x y + x (- x)$ .

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Étape 11.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $y (- x)$ et $x y$ .

$y \cdot y - x y + x y + x (- x)$

Étape 11.1.2

Additionnez $- x y$ et $x y$ .

$y \cdot y + 0 + x (- x)$

Étape 11.1.3

Additionnez $y \cdot y$ et $0$ .

$y \cdot y + x (- x)$

Étape 11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} + x (- x)$

Étape 11.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{2} - x \cdot x$

Étape 11.2.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.3.1

Déplacez $x$ .

$y^{2} - (x \cdot x)$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y^{2} - x^{2}$