Algèbre Exemples

$\frac{\tan (\frac{2 π}{3}) - \tan (\frac{5 π}{6})}{1 + \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

$\frac{- \tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{5 π}{6})}{1 + \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} - \tan (\frac{5 π}{6})}{1 + \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1.3

$\frac{- \sqrt{3} - - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} - - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1.5

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1.6

Pour écrire $- \sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1.7

Associez $- \sqrt{3}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{3} \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1.9

Réécrivez $\frac{- \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3}}{3}$ en forme factorisée.

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Étape 1.9.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{- 3 \sqrt{3} + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1.9.2

Additionnez $- 3 \sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{- 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{5 π}{6})}$

Étape 1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \sqrt{3} \tan (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2.3

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \sqrt{3} (- \tan (\frac{π}{6}))}$

Étape 2.4

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 2.5

Multipliez $- \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

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Étape 2.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 2.5.3

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}}$

Étape 2.5.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}}$

Étape 2.5.5

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}}$

Étape 2.5.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}}$

Étape 2.5.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}}$

Étape 2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}}$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Étape 2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{3^{1}}{3}}$

Étape 2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{3}{3}}$

Étape 2.7

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 + 1}$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{2}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{3}}{3}$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Forme décimale :

$- 0.57735026 \dots$