Algèbre Exemples

${(\frac{2}{5} + \frac{3}{2} i)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $i$ .

${(\frac{2}{5} + \frac{3 i}{2})}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(\frac{2}{5} + \frac{3 i}{2})}^{2}$ comme $(\frac{2}{5} + \frac{3 i}{2}) (\frac{2}{5} + \frac{3 i}{2})$ .

$(\frac{2}{5} + \frac{3 i}{2}) (\frac{2}{5} + \frac{3 i}{2})$

Étape 2

Développez $(\frac{2}{5} + \frac{3 i}{2}) (\frac{2}{5} + \frac{3 i}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{5} (\frac{2}{5} + \frac{3 i}{2}) + \frac{3 i}{2} (\frac{2}{5} + \frac{3 i}{2})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} (\frac{2}{5} + \frac{3 i}{2})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{5 \cdot 5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Étape 3.1.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{4}{25} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{25} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Étape 3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{25} + \frac{1}{5} (3 i) + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Étape 3.1.3

Associez $3$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{4}{25} + \frac{3}{5} i + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Étape 3.1.4

Associez $\frac{3}{5}$ et $i$ .

$\frac{4}{25} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Étape 3.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{25} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Étape 3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{25} + \frac{3 i}{5} + 3 i \frac{1}{5} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Étape 3.1.6

Associez $\frac{1}{5}$ et $3$ .

$\frac{4}{25} + \frac{3 i}{5} + \frac{3}{5} i + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Étape 3.1.7

Associez $\frac{3}{5}$ et $i$ .

$\frac{4}{25} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Étape 3.1.8

Multipliez $\frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$ .

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Étape 3.1.8.1

Multipliez $\frac{3 i}{2}$ par $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{4}{25} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i (3 i)}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.8.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{4}{25} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} + \frac{9 i i}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.8.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{4}{25} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} + \frac{9 (i^{1} i)}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.8.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{4}{25} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} + \frac{9 (i^{1} i^{1})}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.8.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4}{25} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} + \frac{9 i^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.8.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4}{25} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} + \frac{9 i^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.8.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{25} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} + \frac{9 i^{2}}{4}$

Étape 3.1.9

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{4}{25} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} + \frac{9 \cdot - 1}{4}$

Étape 3.1.10

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{4}{25} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} + \frac{- 9}{4}$

Étape 3.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{25} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} - \frac{9}{4}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{4}{25}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{25} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5}$

Étape 3.3

Pour écrire $- \frac{9}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$\frac{4}{25} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4} \cdot \frac{25}{25} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5}$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $100$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{4}{25}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{25 \cdot 4} - \frac{9}{4} \cdot \frac{25}{25} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5}$

Étape 3.4.2

Multipliez $25$ par $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{100} - \frac{9}{4} \cdot \frac{25}{25} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5}$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $\frac{25}{25}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{100} - \frac{9 \cdot 25}{4 \cdot 25} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5}$

Étape 3.4.4

Multipliez $4$ par $25$ .

$\frac{4 \cdot 4}{100} - \frac{9 \cdot 25}{100} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 \cdot 4 - 9 \cdot 25}{100} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{16 - 9 \cdot 25}{100} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5}$

Étape 3.6.2

Multipliez $- 9$ par $25$ .

$\frac{16 - 225}{100} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5}$

Étape 3.6.3

Soustrayez $225$ de $16$ .

$\frac{- 209}{100} + \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5}$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 209}{100} + \frac{6 i}{5}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{209}{100} + \frac{6 i}{5}$