Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{3} + i \sqrt{2}}{\sqrt{3} - i \sqrt{2}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + i \sqrt{2}}{\sqrt{3} - i \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{3} + i \sqrt{2}}{\sqrt{3} + i \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + i \sqrt{2}}{\sqrt{3} - i \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} + i \sqrt{2}}{\sqrt{3} + i \sqrt{2}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + i \sqrt{2}}{\sqrt{3} - i \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{3} + i \sqrt{2}}{\sqrt{3} + i \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + i \sqrt{2}) (\sqrt{3} + i \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - i \sqrt{2}) (\sqrt{3} + i \sqrt{2})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} + i \sqrt{2}) (\sqrt{3} + i \sqrt{2})}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{6} i - i \sqrt{6} - i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{3} + i \sqrt{2}) (\sqrt{3} + i \sqrt{2})}{5}$

Étape 3

Développez $(\sqrt{3} + i \sqrt{2}) (\sqrt{3} + i \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} + i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} (\sqrt{3} + i \sqrt{2})}{5}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} (\sqrt{3} + i \sqrt{2})}{5}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \sqrt{3} + i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{5}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \sqrt{3} + i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{5}$

Étape 4.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{9} + \sqrt{3} (i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \sqrt{3} + i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{5}$

Étape 4.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \sqrt{3} + i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{5}$

Étape 4.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 + \sqrt{3} (i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \sqrt{3} + i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{5}$

Étape 4.1.5

Multipliez $\sqrt{3} (i \sqrt{2})$ .

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Étape 4.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 + \sqrt{2 \cdot 3} i + i \sqrt{2} \sqrt{3} + i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{5}$

Étape 4.1.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{2} \sqrt{3} + i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{5}$

Étape 4.1.6

Multipliez $i \sqrt{2} \sqrt{3}$ .

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Étape 4.1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{3 \cdot 2} + i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{5}$

Étape 4.1.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{6} + i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{5}$

Étape 4.1.7

Multipliez $i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$ .

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Étape 4.1.7.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{6} + i^{1} i \sqrt{2} \sqrt{2}}{5}$

Étape 4.1.7.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{6} + i^{1} i^{1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{5}$

Étape 4.1.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{6} + i^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{5}$

Étape 4.1.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{6} + i^{2} \sqrt{2} \sqrt{2}}{5}$

Étape 4.1.7.5

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{6} + i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{5}$

Étape 4.1.7.6

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{6} + i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{5}$

Étape 4.1.7.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{6} + i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{5}$

Étape 4.1.7.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{6} + i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{5}$

Étape 4.1.8

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{6} - 1 {\sqrt{2}}^{2}}{5}$

Étape 4.1.9

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.1.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{6} - 1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5}$

Étape 4.1.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{6} - 1 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5}$

Étape 4.1.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{6} - 1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{5}$

Étape 4.1.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{6} - 1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{5}$

Étape 4.1.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{6} - 1 \cdot 2^{1}}{5}$

Étape 4.1.9.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{6} - 1 \cdot 2}{5}$

Étape 4.1.10

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3 + \sqrt{6} i + i \sqrt{6} - 2}{5}$

Étape 4.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1 + \sqrt{6} i + i \sqrt{6}}{5}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{6} i$ .

$\frac{1 + i \sqrt{6} + i \sqrt{6}}{5}$

Étape 4.4

Additionnez $i \sqrt{6}$ et $i \sqrt{6}$ .

$\frac{1 + 2 i \sqrt{6}}{5}$