Algèbre Exemples

$f (x) = 3 {(\frac{1}{2})}^{x} - 4$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 3 {(\frac{1}{2})}^{x} - 4$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $3 {(\frac{1}{2})}^{x} - 4 = 0$ .

$3 {(\frac{1}{2})}^{x} - 4 = 0$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$3 \frac{1^{x}}{2^{x}} - 4 = 0$

Étape 1.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 \frac{1}{2^{x}} - 4 = 0$

Étape 1.2.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{2^{x}}$ .

$\frac{3}{2^{x}} - 4 = 0$

Étape 1.2.3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{3}{2^{x}} = 4$

Étape 1.2.4

Multipliez les deux côtés par $2^{x}$ .

$\frac{3}{2^{x}} \cdot 2^{x} = 4 \cdot 2^{x}$

Étape 1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.1.1

Annulez le facteur commun de $2^{x}$ .

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Étape 1.2.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2^{x}} \cdot 2^{x} = 4 \cdot 2^{x}$

Étape 1.2.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 = 4 \cdot 2^{x}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Multipliez $4 \cdot 2^{x}$ .

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Étape 1.2.5.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$3 = 2^{2} \cdot 2^{x}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 = 2^{2 + x}$

Étape 1.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Réécrivez l’équation comme $2^{2 + x} = 3$ .

$2^{2 + x} = 3$

Étape 1.2.6.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{2 + x}) = \ln (3)$

Étape 1.2.6.3

Développez $\ln (2^{2 + x})$ en déplaçant $2 + x$ hors du logarithme.

$(2 + x) \ln (2) = \ln (3)$

Étape 1.2.6.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \ln (2) + x \ln (2) = \ln (3)$

Étape 1.2.6.5

Remettez dans l’ordre $2 \ln (2)$ et $x \ln (2)$ .

$x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (3)$

Étape 1.2.6.6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (2) + 2 \ln (2) - \ln (3) = 0$

Étape 1.2.6.7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.6.7.1

Soustrayez $2 \ln (2)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (2) - \ln (3) = - 2 \ln (2)$

Étape 1.2.6.7.2

Ajoutez $\ln (3)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (2) = - 2 \ln (2) + \ln (3)$

Étape 1.2.6.8

Divisez chaque terme dans $x \ln (2) = - 2 \ln (2) + \ln (3)$ par $\ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.8.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (2) = - 2 \ln (2) + \ln (3)$ par $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$

Étape 1.2.6.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.8.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 1.2.6.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$

Étape 1.2.6.8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$

Étape 1.2.6.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.8.3.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 1.2.6.8.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$

Étape 1.2.6.8.3.1.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$x = - 2 + \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(- 2 + \frac{\ln (3)}{\ln (2)}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 3 {(\frac{1}{2})}^{0} - 4$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 3 {(\frac{1}{2})}^{0} - 4$

Étape 2.2.2

Simplifiez $3 {(\frac{1}{2})}^{0} - 4$ .

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$y = 3 \frac{1^{0}}{2^{0}} - 4$

Étape 2.2.2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$y = 3 \frac{1}{2^{0}} - 4$

Étape 2.2.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$y = 3 (\frac{1}{1}) - 4$

Étape 2.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = 3 (\frac{1}{1}) - 4$

Étape 2.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = 3 \cdot 1 - 4$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$y = 3 - 4$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$y = - 1$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 1)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(- 2 + \frac{\ln (3)}{\ln (2)}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 1)$

Étape 4