Algèbre Exemples

$\sqrt{x^{2} + 6 x} = x + \sqrt{2 x}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x^{2} + 6 x}}^{2} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 6 x}$ comme ${(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 6 x)}^{1} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} + 6 x = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(x + \sqrt{2 x})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(x + \sqrt{2 x})}^{2}$ comme $(x + \sqrt{2 x}) (x + \sqrt{2 x})$ .

$x^{2} + 6 x = (x + \sqrt{2 x}) (x + \sqrt{2 x})$

Étape 2.3.1.2

Développez $(x + \sqrt{2 x}) (x + \sqrt{2 x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 6 x = x (x + \sqrt{2 x}) + \sqrt{2 x} (x + \sqrt{2 x})$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 6 x = x \cdot x + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} (x + \sqrt{2 x})$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 6 x = x \cdot x + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Étape 2.3.1.3.1.2

Multipliez $\sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$ .

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Étape 2.3.1.3.1.2.1

Élevez $\sqrt{2 x}$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x}$

Étape 2.3.1.3.1.2.2

Élevez $\sqrt{2 x}$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1}$

Étape 2.3.1.3.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}$

Étape 2.3.1.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {\sqrt{2 x}}^{2}$

Étape 2.3.1.3.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2 x}}^{2}$ comme $2 x$ .

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Étape 2.3.1.3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.3.1.3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.3.1.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {(2 x)}^{1}$

Étape 2.3.1.3.1.3.5

Simplifiez

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + 2 x$

Étape 2.3.1.3.2

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{2 x} x$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + x \sqrt{2 x} + 2 x$

Étape 2.3.1.3.3

Additionnez $x \sqrt{2 x}$ et $x \sqrt{2 x}$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + 2 x \sqrt{2 x} + 2 x$

Étape 3

Résolvez $2 x \sqrt{2 x}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} + 2 x \sqrt{2 x} + 2 x = x^{2} + 6 x$ .

$x^{2} + 2 x \sqrt{2 x} + 2 x = x^{2} + 6 x$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $2 x \sqrt{2 x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x \sqrt{2 x} + 2 x = x^{2} + 6 x - x^{2}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x \sqrt{2 x} = x^{2} + 6 x - x^{2} - 2 x$

Étape 3.2.3

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 6 x - x^{2} - 2 x$ .

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$2 x \sqrt{2 x} = 6 x + 0 - 2 x$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$2 x \sqrt{2 x} = 6 x - 2 x$

Étape 3.2.4

Soustrayez $2 x$ de $6 x$ .

$2 x \sqrt{2 x} = 4 x$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 x \sqrt{2 x})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(2 x {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

${(2 x (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $2$ par $2^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $2$ par $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.2.1.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

${(2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(2^{1 + \frac{1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(2^{\frac{2 + 1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.4

Additionnez $2$ et $1$ .

${(2^{\frac{3}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.4.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{1}{2}} x))}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.4.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 5.2.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

${(2^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{1}{2}} x^{1}))}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2} + 1})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1 + 2}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $2$ .

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ .

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$2^{3} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.8

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$8 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$8 x^{3} = {(4 x)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez ${(4 x)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$8 x^{3} = 4^{2} x^{2}$

Étape 5.3.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$8 x^{3} = 16 x^{2}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Soustrayez $16 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$8 x^{3} - 16 x^{2} = 0$

Étape 6.2

Factorisez $8 x^{2}$ à partir de $8 x^{3} - 16 x^{2}$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $8 x^{2}$ à partir de $8 x^{3}$ .

$8 x^{2} (x) - 16 x^{2} = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $8 x^{2}$ à partir de $- 16 x^{2}$ .

$8 x^{2} (x) + 8 x^{2} (- 2) = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $8 x^{2}$ à partir de $8 x^{2} (x) + 8 x^{2} (- 2)$ .

$8 x^{2} (x - 2) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $8 x^{2} (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$