Algèbre Exemples

$16^{- 3 y} \cdot \frac{1}{8} = {(\frac{1}{32})}^{2 y - 3}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (16^{- 3 y} \cdot \frac{1}{8}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Étape 2

Réécrivez $\ln (16^{- 3 y} \cdot \frac{1}{8})$ comme $\ln (16^{- 3 y}) + \ln (\frac{1}{8})$ .

$\ln (16^{- 3 y}) + \ln (\frac{1}{8}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{1}{8})$ comme $\ln (1) - \ln (8)$ .

$\ln (16^{- 3 y}) + \ln (1) - \ln (8) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Étape 4

Développez $\ln (16^{- 3 y})$ en déplaçant $- 3 y$ hors du logarithme.

$- 3 y \ln (16) + \ln (1) - \ln (8) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Étape 5

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- 3 y \ln (16) + 0 - \ln (8) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Étape 6

Réécrivez $\ln (8)$ comme $\ln (2^{3})$ .

$- 3 y \ln (16) + 0 - \ln (2^{3}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Étape 7

Développez $\ln (2^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$- 3 y \ln (16) + 0 - (3 \ln (2)) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Étape 8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 y \ln (16) + 0 - 3 \ln (2) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Étape 9

Soustrayez $3 \ln (2)$ de $0$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Étape 10

Développez $\ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$ en déplaçant $2 y - 3$ hors du logarithme.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) \ln (\frac{1}{32})$

Étape 11

Réécrivez $\ln (\frac{1}{32})$ comme $\ln (1) - \ln (32)$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (\ln (1) - \ln (32))$

Étape 12

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - \ln (32))$

Étape 13

Réécrivez $\ln (32)$ comme $\ln (2^{5})$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - \ln (2^{5}))$

Étape 14

Développez $\ln (2^{5})$ en déplaçant $5$ hors du logarithme.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - (5 \ln (2)))$

Étape 15

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - 5 \ln (2))$

Étape 16

Soustrayez $5 \ln (2)$ de $0$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (- 5 \ln (2))$

Étape 17

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 17.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 17.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = 2 y (- 5 \ln (2)) - 3 (- 5 \ln (2))$

Étape 17.1.2

Multipliez.

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Étape 17.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) - 3 (- 5 \ln (2))$

Étape 17.1.2.2

Multipliez $- 5$ par $- 3$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Étape 17.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 17.2.1

Simplifiez $- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2)$ .

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Étape 17.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.2.1.1.1

Simplifiez $- 3 \ln (16)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$y (- \ln (16^{3})) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Étape 17.2.1.1.2

Élevez $16$ à la puissance $3$ .

$y (- \ln (4096)) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Étape 17.2.1.1.3

Simplifiez $- 3 \ln (2)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$y (- \ln (4096)) - \ln (2^{3}) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Étape 17.2.1.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$y (- \ln (4096)) - \ln (8) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Étape 17.2.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $y (- \ln (4096)) - \ln (8)$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Étape 17.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 17.3.1

Simplifiez $- 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$ .

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Étape 17.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.3.1.1.1

Simplifiez $- 10 \ln (2)$ en déplaçant $10$ dans le logarithme.

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (2^{10})) + 15 \ln (2)$

Étape 17.3.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $10$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (1024)) + 15 \ln (2)$

Étape 17.3.1.1.3

Simplifiez $15 \ln (2)$ en déplaçant $15$ dans le logarithme.

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (1024)) + \ln (2^{15})$

Étape 17.3.1.1.4

Élevez $2$ à la puissance $15$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (1024)) + \ln (32768)$

Étape 17.3.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $y (- \ln (1024)) + \ln (32768)$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = - y \ln (1024) + \ln (32768)$

Étape 17.4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- y \ln (4096) - \ln (8) + y \ln (1024) - \ln (32768) = 0$

Étape 17.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 17.5.1

Ajoutez $\ln (8)$ aux deux côtés de l’équation.

$- y \ln (4096) + y \ln (1024) - \ln (32768) = \ln (8)$

Étape 17.5.2

Ajoutez $\ln (32768)$ aux deux côtés de l’équation.

$- y \ln (4096) + y \ln (1024) = \ln (8) + \ln (32768)$

Étape 17.6

Factorisez $y$ à partir de $- y \ln (4096) + y \ln (1024)$ .

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Étape 17.6.1

Factorisez $y$ à partir de $- y \ln (4096)$ .

$y (- 1 \ln (4096)) + y \ln (1024) = \ln (8) + \ln (32768)$

Étape 17.6.2

Factorisez $y$ à partir de $y \ln (1024)$ .

$y (- 1 \ln (4096)) + y (\ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$

Étape 17.6.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- 1 \ln (4096)) + y (\ln (1024))$ .

$y (- 1 \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$

Étape 17.7

Réécrivez $- 1 \ln (4096)$ comme $- \ln (4096)$ .

$y (- \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$

Étape 17.8

Divisez chaque terme dans $y (- \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$ par $- \ln (4096) + \ln (1024)$ et simplifiez.

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Étape 17.8.1

Divisez chaque terme dans $y (- \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$ par $- \ln (4096) + \ln (1024)$ .

$\frac{y (- \ln (4096) + \ln (1024))}{- \ln (4096) + \ln (1024)} = \frac{\ln (8)}{- \ln (4096) + \ln (1024)} + \frac{\ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Étape 17.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 17.8.2.1

Annulez le facteur commun de $- \ln (4096) + \ln (1024)$ .

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Étape 17.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (- \ln (4096) + \ln (1024))}{- \ln (4096) + \ln (1024)} = \frac{\ln (8)}{- \ln (4096) + \ln (1024)} + \frac{\ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Étape 17.8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (8)}{- \ln (4096) + \ln (1024)} + \frac{\ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Étape 17.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 17.8.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Étape 17.8.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (4096)$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Étape 17.8.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (1024)$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- \ln (4096) - 1 (- \ln (1024))}$

Étape 17.8.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (4096) - 1 (- \ln (1024))$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- (\ln (4096) - \ln (1024))}$

Étape 17.8.3.5

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 17.8.3.5.1

Réécrivez $- (\ln (4096) - \ln (1024))$ comme $- 1 (\ln (4096) - \ln (1024))$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- 1 (\ln (4096) - \ln (1024))}$

Étape 17.8.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{\ln (4096) - \ln (1024)}$

Étape 18

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = - \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{\ln (4096) - \ln (1024)}$

Forme décimale :

$y = - 9.000000000000 \dots$