Algèbre Exemples

$\log_{2} (\frac{3}{25}) + 5 \log_{2} (5) + \log_{2} (27) - \log_{2} (\frac{125}{12}) - \log_{2} (243)$

Étape 1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$5 \log_{2} (5) + \log_{2} (\frac{3}{25} \cdot 27) - \log_{2} (\frac{125}{12}) - \log_{2} (243)$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 \log_{2} (5) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25} \cdot 27}{\frac{125}{12}}) - \log_{2} (243)$

Étape 3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 \log_{2} (5) + \log_{2} (\frac{\frac{\frac{3}{25} \cdot 27}{\frac{125}{12}}}{243})$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Simplifiez $5 \log_{2} (5)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$\log_{2} (5^{5}) + \log_{2} (\frac{\frac{\frac{3}{25} \cdot 27}{\frac{125}{12}}}{243})$

Étape 4.2

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{\frac{3}{25} \cdot 27}{\frac{125}{12}}}{243})$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25} \cdot 27}{\frac{125}{12}} \cdot \frac{1}{243})$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $27$ à partir de $\frac{3}{25} \cdot 27$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{27 \cdot \frac{3}{25}}{\frac{125}{12}} \cdot \frac{1}{243})$

Étape 4.4.2

Factorisez $27$ à partir de $243$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{27 \cdot \frac{3}{25}}{\frac{125}{12}} \cdot \frac{1}{27 (9)})$

Étape 4.4.3

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{27 \cdot \frac{3}{25}}{\frac{125}{12}} \cdot \frac{1}{27 \cdot 9})$

Étape 4.4.4

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{125}{12}} \cdot \frac{1}{9})$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{\frac{3}{25}}{\frac{125}{12}}$ par $\frac{1}{9}$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{125}{12} \cdot 9})$

Étape 4.6

Associez $\frac{125}{12}$ et $9$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{125 \cdot 9}{12}})$

Étape 4.7

Multipliez $125$ par $9$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{1125}{12}})$

Étape 4.8

Annulez le facteur commun à $1125$ et $12$ .

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Étape 4.8.1

Factorisez $3$ à partir de $1125$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{3 (375)}{12}})$

Étape 4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{3 \cdot 375}{3 \cdot 4}})$

Étape 4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{3 \cdot 375}{3 \cdot 4}})$

Étape 4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{375}{4}})$

Étape 4.9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{3}{25} \cdot \frac{4}{375})$

Étape 4.10

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.10.1

Factorisez $3$ à partir de $375$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{3}{25} \cdot \frac{4}{3 (125)})$

Étape 4.10.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{3}{25} \cdot \frac{4}{3 \cdot 125})$

Étape 4.10.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{1}{25} \cdot \frac{4}{125})$

Étape 4.11

Multipliez $\frac{1}{25}$ par $\frac{4}{125}$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{4}{25 \cdot 125})$

Étape 4.12

Multipliez $25$ par $125$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{4}{3125})$

Étape 5

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (3125 (\frac{4}{3125}))$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $3125$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (3125 (\frac{4}{3125}))$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (4)$

Étape 7

La base logarithmique $2$ de $4$ est $2$ .

$2$