Algèbre Exemples

${(\sqrt{20 - x})}^{3} = 343$

Étape 1

Résolvez $\sqrt{20 - x}$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $343$ des deux côtés de l’équation.

${\sqrt{20 - x}}^{3} - 343 = 0$

Étape 1.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $343$ comme $7^{3}$ .

${\sqrt{20 - x}}^{3} - 7^{3} = 0$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = \sqrt{20 - x}$ et $b = 7$ .

$(\sqrt{20 - x} - 7) ({\sqrt{20 - x}}^{2} + \sqrt{20 - x} \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Étape 1.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.3.1

Déplacez $7$ à gauche de $\sqrt{20 - x}$ .

$(\sqrt{20 - x} - 7) ({\sqrt{20 - x}}^{2} + 7 \sqrt{20 - x} + 7^{2}) = 0$

Étape 1.2.3.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$(\sqrt{20 - x} - 7) ({\sqrt{20 - x}}^{2} + 7 \sqrt{20 - x} + 49) = 0$

Étape 1.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sqrt{20 - x} - 7 = 0$

${\sqrt{20 - x}}^{2} + 7 \sqrt{20 - x} + 49 = 0$

Étape 1.4

Définissez $\sqrt{20 - x} - 7$ égal à $0$ et résolvez $\sqrt{20 - x}$ .

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Étape 1.4.1

Définissez $\sqrt{20 - x} - 7$ égal à $0$ .

$\sqrt{20 - x} - 7 = 0$

Étape 1.4.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{20 - x} = 7$

Étape 1.5

Définissez ${\sqrt{20 - x}}^{2} + 7 \sqrt{20 - x} + 49$ égal à $0$ et résolvez $\sqrt{20 - x}$ .

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Étape 1.5.1

Définissez ${\sqrt{20 - x}}^{2} + 7 \sqrt{20 - x} + 49$ égal à $0$ .

${\sqrt{20 - x}}^{2} + 7 \sqrt{20 - x} + 49 = 0$

Étape 1.5.2

Résolvez ${\sqrt{20 - x}}^{2} + 7 \sqrt{20 - x} + 49 = 0$ pour $\sqrt{20 - x}$ .

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Étape 1.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 7$ et $c = 49$ dans la formule quadratique et résolvez pour $\sqrt{20 - x}$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 49)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.3

Simplifiez

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Étape 1.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.2.3.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

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Étape 1.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $49$ .

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 196}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.3.1.3

Soustrayez $196$ de $49$ .

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 147$ comme $- 1 (147)$ .

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (147)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.3.1.7

Réécrivez $147$ comme $7^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.5.2.3.1.7.1

Factorisez $49$ à partir de $147$ .

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.3.1.7.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.3.1.9

Déplacez $7$ à gauche de $i$ .

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\sqrt{20 - x} = \frac{- 7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$\sqrt{20 - x} = - \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\sqrt{20 - x} - 7) ({\sqrt{20 - x}}^{2} + 7 \sqrt{20 - x} + 49) = 0$ vraie.

$\sqrt{20 - x} = 7, - \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2

Résolvez $x$ dans $\sqrt{20 - x} = 7$ .

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Étape 2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{20 - x}}^{2} = 7^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{20 - x}$ comme ${(20 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 7^{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez ${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(20 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{2}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(20 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{2}$

Étape 2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(20 - x)}^{1} = 7^{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Simplifiez

$20 - x = 7^{2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$20 - x = 49$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.1.1

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$- x = 49 - 20$

Étape 2.3.1.2

Soustrayez $20$ de $49$ .

$- x = 29$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $- x = 29$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = 29$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{29}{- 1}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{29}{- 1}$

Étape 2.3.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{29}{- 1}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Divisez $29$ par $- 1$ .

$x = - 29$

Étape 3

Résolvez $x$ dans $\sqrt{20 - x} = - \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{20 - x}}^{2} = {(- \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{20 - x}$ comme ${(20 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez ${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(20 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(20 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(20 - x)}^{1} = {(- \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Simplifiez

$20 - x = {(- \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez ${(- \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$ .

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Étape 3.2.3.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$ .

$20 - x = {(- 1)}^{2} {(\frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 3.2.3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$ .

$20 - x = {(- 1)}^{2} \frac{{(7 - 7 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 3.2.3.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.3.1.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$20 - x = 1 \frac{{(7 - 7 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 3.2.3.1.2.2

Multipliez $\frac{{(7 - 7 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$20 - x = \frac{{(7 - 7 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 3.2.3.1.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$20 - x = \frac{{(7 - 7 i \sqrt{3})}^{2}}{4}$

Étape 3.2.3.1.2.4

Réécrivez ${(7 - 7 i \sqrt{3})}^{2}$ comme $(7 - 7 i \sqrt{3}) (7 - 7 i \sqrt{3})$ .

$20 - x = \frac{(7 - 7 i \sqrt{3}) (7 - 7 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 3.2.3.1.3

Développez $(7 - 7 i \sqrt{3}) (7 - 7 i \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$20 - x = \frac{7 (7 - 7 i \sqrt{3}) - 7 i \sqrt{3} (7 - 7 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 3.2.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$20 - x = \frac{7 \cdot 7 + 7 (- 7 i \sqrt{3}) - 7 i \sqrt{3} (7 - 7 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 3.2.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$20 - x = \frac{7 \cdot 7 + 7 (- 7 i \sqrt{3}) - 7 i \sqrt{3} \cdot 7 - 7 i \sqrt{3} (- 7 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 3.2.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.4.1.1

Multipliez $7$ par $7$ .

$20 - x = \frac{49 + 7 (- 7 i \sqrt{3}) - 7 i \sqrt{3} \cdot 7 - 7 i \sqrt{3} (- 7 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.2

Multipliez $- 7$ par $7$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 (i \sqrt{3}) - 7 i \sqrt{3} \cdot 7 - 7 i \sqrt{3} (- 7 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.3

Multipliez $7$ par $- 7$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 7 i \sqrt{3} (- 7 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.4

Multipliez $- 7 i \sqrt{3} (- 7 i \sqrt{3})$ .

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Étape 3.2.3.1.4.1.4.1

Multipliez $- 7$ par $- 7$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.4.6

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.4.7

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.4.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} + 49 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.6

Multipliez $49$ par $- 1$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 49 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.2.3.1.4.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.3.1.4.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3^{1}}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.1.8

Multipliez $- 49$ par $3$ .

$20 - x = \frac{49 - 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 147}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.2

Soustrayez $147$ de $49$ .

$20 - x = \frac{- 49 i \sqrt{3} - 49 i \sqrt{3} - 98}{4}$

Étape 3.2.3.1.4.3

Soustrayez $49 i \sqrt{3}$ de $- 49 i \sqrt{3}$ .

$20 - x = \frac{- 98 i \sqrt{3} - 98}{4}$

Étape 3.2.3.1.5

Remettez dans l’ordre $- 98 i \sqrt{3}$ et $- 98$ .

$20 - x = \frac{- 98 - 98 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 3.2.3.1.6

Annulez le facteur commun à $- 98 - 98 i \sqrt{3}$ et $4$ .

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Étape 3.2.3.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 98$ .

$20 - x = \frac{2 (- 49) - 98 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 3.2.3.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 98 i \sqrt{3}$ .

$20 - x = \frac{2 (- 49) + 2 (- 49 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 3.2.3.1.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 49) + 2 (- 49 i \sqrt{3})$ .

$20 - x = \frac{2 (- 49 - 49 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 3.2.3.1.6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.1.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$20 - x = \frac{2 (- 49 - 49 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.3.1.6.4.2

Annulez le facteur commun.

$20 - x = \frac{2 (- 49 - 49 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.3.1.6.4.3

Réécrivez l’expression.

$20 - x = \frac{- 49 - 49 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.3.1.7

Réécrivez $- 49$ comme $- 1 (49)$ .

$20 - x = \frac{- 1 (49) - 49 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.3.1.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 49 i \sqrt{3}$ .

$20 - x = \frac{- 1 (49) - (49 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 3.2.3.1.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (49) - (49 i \sqrt{3})$ .

$20 - x = \frac{- 1 (49 + 49 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 3.2.3.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$20 - x = - \frac{49 + 49 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.1.1

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - \frac{49 + 49 i \sqrt{3}}{2} - 20$

Étape 3.3.1.2

Pour écrire $- 20$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- x = - \frac{49 + 49 i \sqrt{3}}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.3.1.3

Associez $- 20$ et $\frac{2}{2}$ .

$- x = - \frac{49 + 49 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2}$

Étape 3.3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- x = \frac{- 89 - 49 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.3.1.5

Réécrivez $- 89$ comme $- 1 (89)$ .

$- x = \frac{- 1 (89) - 49 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.3.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 49 i \sqrt{3}$ .

$- x = \frac{- 1 (89) - (49 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 3.3.1.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (89) - (49 i \sqrt{3})$ .

$- x = \frac{- 1 (89 + 49 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 3.3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- x = - \frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.3.2

Divisez chaque terme dans $- x = - \frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - \frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}}{- 1}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}}{- 1}$

Étape 3.3.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}}{- 1}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{\frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}}{1}$

Étape 3.3.2.3.2

Divisez $\frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$x = \frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ dans $\sqrt{20 - x} = - \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{20 - x}}^{2} = {(- \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{20 - x}$ comme ${(20 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez ${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(20 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(20 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(20 - x)}^{1} = {(- \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Simplifiez

$20 - x = {(- \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez ${(- \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}$ .

$20 - x = {(- 1)}^{2} {(\frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}$ .

$20 - x = {(- 1)}^{2} \frac{{(7 + 7 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.2.3.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.3.1.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$20 - x = 1 \frac{{(7 + 7 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $\frac{{(7 + 7 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$20 - x = \frac{{(7 + 7 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.2.3.1.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$20 - x = \frac{{(7 + 7 i \sqrt{3})}^{2}}{4}$

Étape 4.2.3.1.2.4

Réécrivez ${(7 + 7 i \sqrt{3})}^{2}$ comme $(7 + 7 i \sqrt{3}) (7 + 7 i \sqrt{3})$ .

$20 - x = \frac{(7 + 7 i \sqrt{3}) (7 + 7 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.2.3.1.3

Développez $(7 + 7 i \sqrt{3}) (7 + 7 i \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$20 - x = \frac{7 (7 + 7 i \sqrt{3}) + 7 i \sqrt{3} (7 + 7 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.2.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$20 - x = \frac{7 \cdot 7 + 7 (7 i \sqrt{3}) + 7 i \sqrt{3} (7 + 7 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.2.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$20 - x = \frac{7 \cdot 7 + 7 (7 i \sqrt{3}) + 7 i \sqrt{3} \cdot 7 + 7 i \sqrt{3} (7 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.2.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1.4.1.1

Multipliez $7$ par $7$ .

$20 - x = \frac{49 + 7 (7 i \sqrt{3}) + 7 i \sqrt{3} \cdot 7 + 7 i \sqrt{3} (7 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.2

Multipliez $7$ par $7$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 (i \sqrt{3}) + 7 i \sqrt{3} \cdot 7 + 7 i \sqrt{3} (7 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.3

Multipliez $7$ par $7$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 7 i \sqrt{3} (7 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.4

Multipliez $7 i \sqrt{3} (7 i \sqrt{3})$ .

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Étape 4.2.3.1.4.1.4.1

Multipliez $7$ par $7$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.4.6

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.4.7

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.4.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} + 49 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.6

Multipliez $49$ par $- 1$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} - 49 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.2.3.1.4.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} - 49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1.4.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3^{1}}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} - 49 \cdot 3}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.1.8

Multipliez $- 49$ par $3$ .

$20 - x = \frac{49 + 49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} - 147}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.2

Soustrayez $147$ de $49$ .

$20 - x = \frac{49 i \sqrt{3} + 49 i \sqrt{3} - 98}{4}$

Étape 4.2.3.1.4.3

Additionnez $49 i \sqrt{3}$ et $49 i \sqrt{3}$ .

$20 - x = \frac{98 i \sqrt{3} - 98}{4}$

Étape 4.2.3.1.5

Remettez dans l’ordre $98 i \sqrt{3}$ et $- 98$ .

$20 - x = \frac{- 98 + 98 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.2.3.1.6

Annulez le facteur commun à $- 98 + 98 i \sqrt{3}$ et $4$ .

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Étape 4.2.3.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 98$ .

$20 - x = \frac{2 (- 49) + 98 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.2.3.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $98 i \sqrt{3}$ .

$20 - x = \frac{2 (- 49) + 2 (49 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.2.3.1.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 49) + 2 (49 i \sqrt{3})$ .

$20 - x = \frac{2 (- 49 + 49 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.2.3.1.6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$20 - x = \frac{2 (- 49 + 49 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.3.1.6.4.2

Annulez le facteur commun.

$20 - x = \frac{2 (- 49 + 49 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.3.1.6.4.3

Réécrivez l’expression.

$20 - x = \frac{- 49 + 49 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.3.1.7

Réécrivez $- 49$ comme $- 1 (49)$ .

$20 - x = \frac{- 1 (49) + 49 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.3.1.8

Factorisez $- 1$ à partir de $49 i \sqrt{3}$ .

$20 - x = \frac{- 1 (49) - (- 49 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.2.3.1.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (49) - (- 49 i \sqrt{3})$ .

$20 - x = \frac{- 1 (49 - 49 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.2.3.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$20 - x = - \frac{49 - 49 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1.1

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - \frac{49 - 49 i \sqrt{3}}{2} - 20$

Étape 4.3.1.2

Pour écrire $- 20$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- x = - \frac{49 - 49 i \sqrt{3}}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.3.1.3

Associez $- 20$ et $\frac{2}{2}$ .

$- x = - \frac{49 - 49 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2}$

Étape 4.3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- x = \frac{- 89 + 49 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3.1.5

Réécrivez $- 89$ comme $- 1 (89)$ .

$- x = \frac{- 1 (89) + 49 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $49 i \sqrt{3}$ .

$- x = \frac{- 1 (89) - (- 49 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.3.1.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (89) - (- 49 i \sqrt{3})$ .

$- x = \frac{- 1 (89 - 49 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- x = - \frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3.2

Divisez chaque terme dans $- x = - \frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - \frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}}{- 1}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}}{- 1}$

Étape 4.3.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}}{- 1}$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{\frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}}{1}$

Étape 4.3.2.3.2

Divisez $\frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$x = \frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Indiquez toutes les solutions.

$x = - 29, \frac{89 + 49 i \sqrt{3}}{2}, \frac{89 - 49 i \sqrt{3}}{2}$