Algèbre Exemples

$\frac{\cos (x) \tan (x) - \csc (x) \sin (x)}{\csc (x) \tan (x)} = \frac{\sin (x) - 1}{\sec (x)}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\cos (x) \tan (x) - \csc (x) \sin (x)}{\csc (x) \tan (x)}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \csc (x) \sin (x)}{\csc (x) \tan (x)}$

Étape 2.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)}{\csc (x) \tan (x)}$

Étape 2.3

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} \tan (x)}$

Étape 2.4

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x) - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{\sin (x)}$ dans le numérateur.

$\frac{\sin (x) + \frac{- 1}{\sin (x)} \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) + \frac{- 1}{\sin (x)} \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x) - 1}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) - 1}{\frac{\sin (x)}{\sin (x) \cos (x)}}$

Étape 3.3

Réduisez l’expression $\frac{\sin (x)}{\sin (x) \cos (x)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) - 1}{\frac{\sin (x)}{\sin (x) \cos (x)}}$

Étape 3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x) - 1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\sin (x) - 1) \cos (x)$

Étape 3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \cos (x) - 1 \cos (x)$

Étape 3.6

Réécrivez $- 1 \cos (x)$ comme $- \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (x) - \cos (x)$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \cos (x) + \cos (x) \sin (x)$

Étape 5

Réécrivez $- \cos (x) + \cos (x) \sin (x)$ comme $\frac{\sin (x) - 1}{\sec (x)}$ .

$\frac{\sin (x) - 1}{\sec (x)}$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\cos (x) \tan (x) - \csc (x) \sin (x)}{\csc (x) \tan (x)} = \frac{\sin (x) - 1}{\sec (x)}$ est une identité