Algèbre Exemples

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{((0) - 1)}^{2}}{4} = 1$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Ajoutez $\frac{{((0) - 1)}^{2}}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = 1 + \frac{{((0) - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.2.2

Simplifiez $1 + \frac{{((0) - 1)}^{2}}{4}$ .

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Étape 1.2.2.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = 1 + \frac{{(- 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = 1 + \frac{1}{4}$

Étape 1.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 1.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = \frac{4 + 1}{4}$

Étape 1.2.2.5

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = \frac{5}{4}$

Étape 1.2.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $9$ .

$9 \frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = 9 (\frac{5}{4})$

Étape 1.2.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 1.2.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$9 \frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = 9 (\frac{5}{4})$

Étape 1.2.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

${(x - 2)}^{2} = 9 (\frac{5}{4})$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez $9 (\frac{5}{4})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Associez $9$ et $\frac{5}{4}$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{9 \cdot 5}{4}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $9$ par $5$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{45}{4}$

Étape 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - 2 = \pm \sqrt{\frac{45}{4}}$

Étape 1.2.6

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{45}{4}}$ .

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Étape 1.2.6.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{45}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ .

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$

Étape 1.2.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.2.1

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}}$

Étape 1.2.6.2.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

Étape 1.2.6.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x - 2 = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.6.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x - 2 = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 1.2.6.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x - 2 = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 1.2.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x - 2 = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 1.2.7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{3 \sqrt{5}}{2} + 2$

Étape 1.2.7.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x - 2 = - \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 1.2.7.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + 2$

Étape 1.2.7.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{3 \sqrt{5}}{2} + 2, - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + 2$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2} + 2, 0), (- \frac{3 \sqrt{5}}{2} + 2, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$\frac{{((0) - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $\frac{{((0) - 2)}^{2}}{9}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1 - \frac{{((0) - 2)}^{2}}{9}$

Étape 2.2.2

Simplifiez $1 - \frac{{((0) - 2)}^{2}}{9}$ .

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.1.1

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1 - \frac{{(- 2)}^{2}}{9}$

Étape 2.2.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1 - \frac{4}{9}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9}$

Étape 2.2.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = \frac{9 - 4}{9}$

Étape 2.2.2.2.3

Soustrayez $4$ de $9$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = \frac{5}{9}$

Étape 2.2.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 4$ .

$- 4 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{4}) = - 4 (\frac{5}{9})$

Étape 2.2.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.4.1.1

Simplifiez $- 4 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{4})$ .

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Étape 2.2.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.4.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{{(y - 1)}^{2}}{4}$ dans le numérateur.

$- 4 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{4} = - 4 (\frac{5}{9})$

Étape 2.2.4.1.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- {(y - 1)}^{2}}{4} = - 4 (\frac{5}{9})$

Étape 2.2.4.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 1 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{4} = - 4 (\frac{5}{9})$

Étape 2.2.4.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - {(y - 1)}^{2} = - 4 (\frac{5}{9})$

Étape 2.2.4.1.1.2

Multipliez.

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Étape 2.2.4.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 {(y - 1)}^{2} = - 4 (\frac{5}{9})$

Étape 2.2.4.1.1.2.2

Multipliez ${(y - 1)}^{2}$ par $1$ .

${(y - 1)}^{2} = - 4 (\frac{5}{9})$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.1

Simplifiez $- 4 (\frac{5}{9})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.1.1

Multipliez $- 4 (\frac{5}{9})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.1.1.1

Associez $- 4$ et $\frac{5}{9}$ .

${(y - 1)}^{2} = \frac{- 4 \cdot 5}{9}$

Étape 2.2.4.2.1.1.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

${(y - 1)}^{2} = \frac{- 20}{9}$

Étape 2.2.4.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

${(y - 1)}^{2} = - \frac{20}{9}$

Étape 2.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 1 = \pm \sqrt{- \frac{20}{9}}$

Étape 2.2.6

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{20}{9}}$ .

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Étape 2.2.6.1

Réécrivez $- \frac{20}{9}$ comme ${(\frac{2 i}{3})}^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.2.6.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{i^{2} \frac{20}{9}}$

Étape 2.2.6.1.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $20$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2} \cdot 5}{9}}$

Étape 2.2.6.1.3

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2} \cdot 5}{3^{2} \cdot 1}}$

Étape 2.2.6.1.4

Réorganisez la fraction $\frac{2^{2} \cdot 5}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{2}{3})}^{2} \cdot 5)}$

Étape 2.2.6.1.5

Réécrivez $i^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}$ comme ${(\frac{2 i}{3})}^{2}$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{{(\frac{2 i}{3})}^{2} \cdot 5}$

Étape 2.2.6.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y - 1 = \pm \frac{2 i}{3} \sqrt{5}$

Étape 2.2.6.3

Associez $\frac{2 i}{3}$ et $\sqrt{5}$ .

$y - 1 = \pm \frac{2 i \sqrt{5}}{3}$

Étape 2.2.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y - 1 = \frac{2 i \sqrt{5}}{3}$

Étape 2.2.7.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{2 i \sqrt{5}}{3} + 1$

Étape 2.2.7.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y - 1 = - \frac{2 i \sqrt{5}}{3}$

Étape 2.2.7.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{2 i \sqrt{5}}{3} + 1$

Étape 2.2.7.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{2 i \sqrt{5}}{3} + 1, - \frac{2 i \sqrt{5}}{3} + 1$

Étape 2.3

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

ordonnée(s) à l’origine : $Aucune$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2} + 2, 0), (- \frac{3 \sqrt{5}}{2} + 2, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $Aucune$

Étape 4