Algèbre Exemples

${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2} = 1$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2}) = \ln (1)$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln ({(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2})$ en déplaçant $x^{2} - x - 2$ hors du logarithme.

$(x^{2} - x - 2) \ln (\frac{1}{2}) = \ln (1)$

Étape 2.2

Réécrivez $\ln (\frac{1}{2})$ comme $\ln (1) - \ln (2)$ .

$(x^{2} - x - 2) (\ln (1) - \ln (2)) = \ln (1)$

Étape 2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$(x^{2} - x - 2) (0 - \ln (2)) = \ln (1)$

Étape 2.4

Soustrayez $\ln (2)$ de $0$ .

$(x^{2} - x - 2) (- \ln (2)) = \ln (1)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $(x^{2} - x - 2) (- \ln (2))$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (- \ln (2)) - x (- \ln (2)) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $- x (- \ln (2))$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} (- \ln (2)) + 1 x \ln (2) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (1)$

Étape 3.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) + 2 \ln (2)$ .

$- x^{2} \ln (2) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (1)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- x^{2} \ln (2) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = - \ln (2)$ , $b = \ln (2)$ et $c = 2 \ln (2)$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln^{2} (2) - 4 \cdot (- \ln (2) \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Factorisez $\ln (2)$ à partir de $\ln^{2} (2) - 4 \cdot - 1 \ln (2) \cdot (2 \ln (2))$ .

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Étape 7.1.1.1

Factorisez $\ln (2)$ à partir de $\ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) - 4 \cdot (- 1 \ln (2)) \cdot (2 \ln (2))}}{2 (- \ln (2))}$

Étape 7.1.1.2

Factorisez $\ln (2)$ à partir de $- 4 \cdot - 1 \ln (2) \cdot (2 \ln (2))$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Étape 7.1.1.3

Factorisez $\ln (2)$ à partir de $\ln (2) \ln (2) + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Étape 7.1.2

Factorisez $\ln (2)$ à partir de $\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot 2 \ln (2)$ .

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Étape 7.1.2.1

Élevez $\ln (2)$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Étape 7.1.2.2

Factorisez $\ln (2)$ à partir de $\ln^{1} (2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Étape 7.1.2.3

Factorisez $\ln (2)$ à partir de $- 4 \cdot - 1 \cdot 2 \ln (2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) \cdot 1 + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

Étape 7.1.2.4

Factorisez $\ln (2)$ à partir de $\ln (2) \cdot 1 + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot 2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 - 4 \cdot - 1 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

Étape 7.1.3

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 2$ .

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Étape 7.1.3.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 + 4 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

Étape 7.1.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 + 8))}}{2 (- \ln (2))}$

Étape 7.1.4

Additionnez $1$ et $8$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Étape 7.1.5

Associez les exposants.

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Étape 7.1.5.1

Élevez $\ln (2)$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Étape 7.1.5.2

Élevez $\ln (2)$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Étape 7.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{{\ln (2)}^{1 + 1} \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Étape 7.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln^{2} (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Étape 7.1.6

Réécrivez $\ln^{2} (2) \cdot 9$ comme ${(\ln (2) \cdot 3)}^{2}$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{{(\ln (2) \cdot 3)}^{2}}}{2 (- \ln (2))}$

Étape 7.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \ln (2) \cdot 3}{2 (- \ln (2))}$

Étape 7.1.8

Déplacez $3$ à gauche de $\ln (2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{2 (- \ln (2))}$

Étape 7.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{- 2 \ln (2)}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{- 2 \ln (2)}$ .

$x = \frac{1 \pm 3}{2}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2, - 1$