Algèbre Exemples

$y x^{6} + 27 y^{7}$

Étape 1

Factorisez $y$ à partir de $y x^{6} + 27 y^{7}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $y x^{6}$ .

$y (x^{6}) + 27 y^{7}$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $27 y^{7}$ .

$y (x^{6}) + y (27 y^{6})$

Étape 1.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x^{6}) + y (27 y^{6})$ .

$y (x^{6} + 27 y^{6})$

Étape 2

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{2})}^{3}$ .

$y ({(x^{2})}^{3} + 27 y^{6})$

Étape 3

Réécrivez $27 y^{6}$ comme ${(3 y^{2})}^{3}$ .

$y ({(x^{2})}^{3} + {(3 y^{2})}^{3})$

Étape 4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x^{2}$ et $b = 3 y^{2}$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) ({(x^{2})}^{2} - x^{2} (3 y^{2}) + {(3 y^{2})}^{2}))$

Étape 5

Factorisez.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{2 \cdot 2} - x^{2} (3 y^{2}) + {(3 y^{2})}^{2}))$

Étape 5.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - x^{2} (3 y^{2}) + {(3 y^{2})}^{2}))$

Étape 5.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - 1 \cdot 3 x^{2} y^{2} + {(3 y^{2})}^{2}))$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + {(3 y^{2})}^{2}))$

Étape 5.1.4

Appliquez la règle de produit à $3 y^{2}$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 3^{2} {(y^{2})}^{2}))$

Étape 5.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 9 {(y^{2})}^{2}))$

Étape 5.1.6

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 9 y^{2 \cdot 2}))$

Étape 5.1.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 9 y^{4}))$

Étape 5.1.7

Factorisez.

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Étape 5.1.7.1

Réécrivez $x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 9 y^{4}$ en forme factorisée.

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Étape 5.1.7.1.1

Réécrivez le point milieu.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} + 2 x^{2} (3 y^{2}) - 9 x^{2} y^{2} + 9 y^{4}))$

Étape 5.1.7.1.2

Réorganisez les termes.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} + 2 x^{2} (3 y^{2}) + 9 y^{4} - 9 x^{2} y^{2}))$

Étape 5.1.7.1.3

Factorisez les trois premiers termes selon la règle du carré parfait.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) ({(x^{2} + 3 y^{2})}^{2} - 9 x^{2} y^{2}))$

Étape 5.1.7.1.4

Réécrivez $9 x^{2} y^{2}$ comme ${(3 x y)}^{2}$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) ({(x^{2} + 3 y^{2})}^{2} - {(3 x y)}^{2}))$

Étape 5.1.7.1.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2} + 3 y^{2}$ et $b = 3 x y$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) ((x^{2} + 3 y^{2} + 3 x y) (x^{2} + 3 y^{2} - (3 x y))))$

Étape 5.1.7.1.6

Simplifiez

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Étape 5.1.7.1.6.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) ((x^{2} + 3 y^{2} + 3 x y) (x^{2} + 3 y^{2} - 3 (x y))))$

Étape 5.1.7.1.6.2

Supprimez les parenthèses.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) ((x^{2} + 3 y^{2} + 3 x y) (x^{2} + 3 y^{2} - 3 x y)))$

Étape 5.1.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{2} + 3 y^{2} + 3 x y) (x^{2} + 3 y^{2} - 3 x y))$

Étape 5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y (x^{2} + 3 y^{2}) (x^{2} + 3 y^{2} + 3 x y) (x^{2} + 3 y^{2} - 3 x y)$