Algèbre Exemples

$\frac{2 (1 - i \sqrt{2}) - 3}{{(1 - i \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i \sqrt{2}) - 3}{{(1 - i \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 + 2 (- i \sqrt{2}) - 3}{{(1 - i \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2 (i \sqrt{2}) - 3}{{(1 - i \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 1.4

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{{(1 - i \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 2

Réécrivez ${(1 - i \sqrt{2})}^{2}$ comme $(1 - i \sqrt{2}) (1 - i \sqrt{2})$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{(1 - i \sqrt{2}) (1 - i \sqrt{2})}$

Étape 3

Développez $(1 - i \sqrt{2}) (1 - i \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 (1 - i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} (1 - i \sqrt{2})}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 \cdot 1 + 1 (- i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} (1 - i \sqrt{2})}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 \cdot 1 + 1 (- i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} \cdot 1 - i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 + 1 (- i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} \cdot 1 - i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- i \sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} \cdot 1 - i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}$

Étape 4.1.4

Multipliez $- i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$ .

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + 1 i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + \sqrt{2} i (i \sqrt{2})}$

Étape 4.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i i}$

Étape 4.1.4.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i i}$

Étape 4.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1} i i}$

Étape 4.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2} i i}$

Étape 4.1.4.7

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2} (i^{1} i)}$

Étape 4.1.4.8

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2} (i^{1} i^{1})}$

Étape 4.1.4.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2} i^{1 + 1}}$

Étape 4.1.4.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2} i^{2}}$

Étape 4.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}$

Étape 4.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}$

Étape 4.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}} i^{2}}$

Étape 4.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}} i^{2}}$

Étape 4.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + 2^{1} i^{2}}$

Étape 4.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + 2 i^{2}}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + 2 \cdot - 1}$

Étape 4.1.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{1 - i \sqrt{2} - i \sqrt{2} - 2}$

Étape 4.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{- i \sqrt{2} - i \sqrt{2} - 1}$

Étape 4.3

Soustrayez $i \sqrt{2}$ de $- i \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{- 2 i \sqrt{2} - 1}$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $- 2 i \sqrt{2}$ et $- 1$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{- 1 - 2 i \sqrt{2}}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $- 2 i \sqrt{2} - 1$ et $- 1 - 2 i \sqrt{2}$ .

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Étape 6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{- 2 i \sqrt{2} - 1}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 i \sqrt{2} - 1}{- 2 i \sqrt{2} - 1}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$1$