Algèbre Exemples

$\frac{\frac{y}{x} - \frac{x}{y}}{\frac{5}{y} - \frac{5}{x}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $x y$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{y}{x} - \frac{x}{y}}{\frac{5}{y} - \frac{5}{x}}$ par $\frac{x y}{x y}$ .

$\frac{x y}{x y} \cdot \frac{\frac{y}{x} - \frac{x}{y}}{\frac{5}{y} - \frac{5}{x}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{x y (\frac{y}{x} - \frac{x}{y})}{x y (\frac{5}{y} - \frac{5}{x})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x y \frac{y}{x} + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{5}{y} + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{x (y) \frac{y}{x} + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{5}{y} + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{y}{x} + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{5}{y} + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \cdot y + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{5}{y} + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{1} y + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{5}{y} + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{1} y^{1} + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{5}{y} + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{1 + 1} + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{5}{y} + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y^{2} + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{5}{y} + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{y^{2} + x y \frac{- x}{y}}{x y \frac{5}{y} + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3.6.2

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{y^{2} + y x \frac{- x}{y}}{x y \frac{5}{y} + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} + y x \frac{- x}{y}}{x y \frac{5}{y} + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} + x (- x)}{x y \frac{5}{y} + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{2} - (x^{1} x)}{x y \frac{5}{y} + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{2} - (x^{1} x^{1})}{x y \frac{5}{y} + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{2} - x^{1 + 1}}{x y \frac{5}{y} + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x y \frac{5}{y} + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3.11

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.11.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{y^{2} - x^{2}}{y x \frac{5}{y} + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{y x \frac{5}{y} + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x \cdot 5 + x y (- \frac{5}{x})}$

Étape 3.12

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.12.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x \cdot 5 + x y \frac{- 5}{x}}$

Étape 3.12.2

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x \cdot 5 + x (y) \frac{- 5}{x}}$

Étape 3.12.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x \cdot 5 + x y \frac{- 5}{x}}$

Étape 3.12.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x \cdot 5 + y \cdot - 5}$

Étape 4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = x$ .

$\frac{(y + x) (y - x)}{x \cdot 5 + y \cdot - 5}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $5$ à partir de $x \cdot 5 + y \cdot - 5$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $5$ à partir de $x \cdot 5$ .

$\frac{(y + x) (y - x)}{5 \cdot x + y \cdot - 5}$

Étape 5.1.2

Factorisez $5$ à partir de $y \cdot - 5$ .

$\frac{(y + x) (y - x)}{5 \cdot x + 5 (y \cdot - 1)}$

Étape 5.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 \cdot x + 5 (y \cdot - 1)$ .

$\frac{(y + x) (y - x)}{5 (x + y \cdot - 1)}$

Étape 5.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$\frac{(y + x) (y - x)}{5 (x - 1 \cdot y)}$

Étape 5.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{(y + x) (y - x)}{5 (x - y)}$

Étape 6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $y - x$ et $x - y$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{(y + x) (- 1 (- y) - x)}{5 (x - y)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(y + x) (- 1 (- y) - (x))}{5 (x - y)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- y) - (x)$ .

$\frac{(y + x) (- 1 (- y + x))}{5 (x - y)}$

Étape 6.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(y + x) (- 1 (x - y))}{5 (x - y)}$

Étape 6.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + x) (- 1 (x - y))}{5 (x - y)}$

Étape 6.1.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y + x) \cdot (- 1)}{5}$

Étape 6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $y + x$ .

$\frac{- 1 \cdot (y + x)}{5}$

Étape 6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y + x}{5}$