Algèbre Exemples

$\log_{6} (x^{2} - 4) - \log_{6} (3 x + 6) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{6} (\frac{x^{2} - 4}{3 x + 6}) = 0$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\log_{6} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{3 x + 6}) = 0$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 6}) = 0$

Étape 1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 6$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 (x) + 6}) = 0$

Étape 1.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 3 \cdot 2}) = 0$

Étape 1.3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 (x + 2)}) = 0$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 (x + 2)}) = 0$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{6} (\frac{x - 2}{3}) = 0$

Étape 2

Réécrivez $\log_{6} (\frac{x - 2}{3}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$6^{0} = \frac{x - 2}{3}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x - 2}{3} = 6^{0}$ .

$\frac{x - 2}{3} = 6^{0}$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{x - 2}{3} = 3 \cdot 6^{0}$

Étape 3.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{x - 2}{3} = 3 \cdot 6^{0}$

Étape 3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x - 2 = 3 \cdot 6^{0}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez $3 \cdot 6^{0}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x - 2 = 3 \cdot 1$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$x - 2 = 3$

Étape 3.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.4.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3 + 2$

Étape 3.4.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$x = 5$