Algèbre Exemples

$x^{\frac{4}{3}} - 10 x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

Étape 1

Réécrivez $x^{\frac{4}{3}}$ comme ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 10 x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

Étape 2

Laissez $u = x^{\frac{2}{3}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{\frac{2}{3}}$ par $u$ .

$u^{2} - 10 u + 9 = 0$

Étape 3

Factorisez $u^{2} - 10 u + 9$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $9$ et dont la somme est $- 10$ .

$- 9, - 1$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 9) (u - 1) = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$(x^{\frac{2}{3}} - 9) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Étape 5

Réécrivez $x^{\frac{2}{3}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 9) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Étape 6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 3^{2}) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Étape 7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{\frac{1}{3}}$ et $b = 3$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Étape 8

Réécrivez $x^{\frac{2}{3}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1) = 0$

Étape 9

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{\frac{1}{3}}$ et $b = 1$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ((x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1)) = 0$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

Étape 12

Définissez $x^{\frac{1}{3}} + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x^{\frac{1}{3}} + 3$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{3}} = - 3$

Étape 12.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Étape 12.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 12.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 12.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 12.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Étape 12.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Étape 12.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 3)}^{3}$

Étape 12.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 3)}^{3}$

Étape 12.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.3.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$x = - 27$

Étape 13

Définissez $x^{\frac{1}{3}} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x^{\frac{1}{3}} - 3$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 13.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{3}} = 3$

Étape 13.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Étape 13.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 13.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 13.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 13.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Étape 13.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Étape 13.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 3^{3}$

Étape 13.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 3^{3}$

Étape 13.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.3.2.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$x = 27$

Étape 14

Définissez $x^{\frac{1}{3}} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Définissez $x^{\frac{1}{3}} + 1$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Étape 14.2

Résolvez $x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 14.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Étape 14.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 14.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 14.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 14.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 14.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 14.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 14.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 14.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Étape 14.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 1)}^{3}$

Étape 14.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.2.3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$x = - 1$

Étape 15

Définissez $x^{\frac{1}{3}} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 15.1

Définissez $x^{\frac{1}{3}} - 1$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

Étape 15.2

Résolvez $x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 15.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{3}} = 1$

Étape 15.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Étape 15.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 15.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 15.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 15.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 15.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Étape 15.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Étape 15.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 1^{3}$

Étape 15.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 1^{3}$

Étape 15.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 15.2.3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = 1$

Étape 16

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1) = 0$ vraie.

$x = - 27, 27, - 1, 1$